2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:48 


30/05/15
13
Тогда гауссова кривизна равняется 0. А средняя $ Trace H = bg^{-1} $, где g - первая квадратичная форма поверхности

-- 31.05.2015, 21:00 --

$ H = Trace [bg^{-1}] $

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 21:14 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Да. Если гауссова кривизна равна нулю — это важное свойство. Такие поверхности имеют специальное название — развёртывающиеся. Их можно наложить (локально) на плоскость, изгибая, но не растягивая и не сжимая (а сферу, как известно, — нельзя).

Я сначала хотел прийти к ответу примерно таким путём.
Главные кривизны $k_1, k_2$ — это собственные значения обобщенной задачи о собственных значениях$$B\mathbf x=kG\mathbf x\;,\eqno{(*)}$$где $B$ — матрица второй квадратичной формы, а $G$ — первой. Так как $\det B=0$, нуль является её собственным значением: существует такой ненулевой $\mathbf x$, что $B\mathbf x=0\mathbf x=\mathbf 0$. Если подставить этот $\mathbf x$ и $k=0$ в ${(*)}$, оно удовлетворится. Следовательно, одна из главных кривизн равна нулю. Следовательно, $K=k_1 k_2=0$.
Но подумал: нет, сложно. Возьмём уже готовую формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 21:18 


30/05/15
13
Если подумать, то нормально. Нужно вспомнить немного линейной алгебры.

Но я не понимаю почему равенство гауссовой кривизны нулю является достаточным условием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 21:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Достаточным для ... ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 21:19 


30/05/15
13
Чтобы вторая квадратичная форма была полным квадратом.

-- 31.05.2015, 21:26 --

Определитель бывает равным нулю, а следовательно, и равенство гауссовой кривизны нулю, не только когда вторая форма полный квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 22:08 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Попробуем обратить рассуждения.
Гауссова кривизна $K$ равна нулю.
Числитель формулы для $K$ равен нулю, откуда $LN=M^2$.
Дальше, отсюда понятно, что $L$ и $N$ не могут быть разных знаков, иначе в левой части будет отрицательное число, хотя $M^2$ неотрицательно. Значит, их можно представить в виде
$L=ca^2$
$N=cb^2$
где $c=+1$ или $c=-1$, но одно и то же для $L$ и $N$, $a$ и $b$ — некоторые числа. Тогда $M^2=(cab)^2$, откуда $M=\pm cab$
Таким образом,
$L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2=c(a^2\,du^2\pm 2ab\,du\,dv+b^2\,dv^2)$,
где в скобках полный квадрат. Если $c=1$, то всё в порядке, ну, а если $c=-1$, то предлагаю на выбор:
$\bullet$ считать, что ничего нельзя сделать;
$\bullet$ считать, что и так хорошо, почти полный квадрат, только со знаком минус впереди;
$\bullet$ представить $c=i^2$ и внести $i$ под скобку;
$\bullet$ изменением знака нормали к поверхности умножить всю форму на $-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 22:14 


30/05/15
13
Согласен.

Можно было и самому решить, видимо, лень мешает.

Спасибо большое за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 22:24 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Пожалуйста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group