2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 03:18 


28/05/15
3
Добрый день!
Сама задача: "Найдите максимальное значение определителя матрицы (а) второго (б) третьего порядка, если сумма квадратов всех ее элементов не превосходит 1."
Для второго порядка - все просто. А вот с третьим уже сложнее.
Если решать через функцию Лагранжа, то у нас получается система из 10 уравнений, которую решить в лоб у меня не получается.
$\left\{\begin{matrix} M_{ij}+2\cdot x_{ij}=0 , 1\leq i,j\leq 3 \\ \sum_{i,j=1}^{3}x_{ij}^2=1 \end{matrix}\right$
Подскажите, на что тут нужно обратить внимание, чтобы упростить эту систему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 04:09 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Мне кажется, если вспомнить, чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов, то можно на пальцах найти максимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 04:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 08:20 


07/04/15
244
У меня как-то так получилось, правильно?
$$
\left\{\begin{matrix}
\\\operatorname{Tr}{AA^{*}}=\sum\limits_i\sum\limits_j a^2_{ij}=\sum\limits_k\lambda_k\leq 1\\ 
\det{AA^{*}}=(\det{A})^2=\prod\limits_{k}\lambda_k
\end{matrix}\right
$$

Отсюда
$$
(\det{A})^2=\prod\limits_{k}\lambda_k\leq(\sum\limits_k\lambda_k\cdot\frac{1}{3})^3\leq(1\cdot\frac{1}{3})^3
$$
И тогда $\det{A}=\frac{1}{3}^{3/2}$

Покажем, что указанный определитель достигается, например на: $\operatorname{diag}{((\frac{1}{3})^{1/2},(\frac{1}{3})^{1/2},(\frac{1}{3})^{1/2})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7948
Москва
g______d в сообщении #1020596 писал(а):
А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.


А не собственных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 13:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Евгений Машеров в сообщении #1020699 писал(а):
А не собственных?

Сингулярных, т.к. $A^*A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 13:55 


28/05/15
3
g______d в сообщении #1020596 писал(а):
А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

2old в сообщении #1020618 писал(а):
И тогда $\det{A}=\frac{1}{3}^{3/2}$


Спасибо! Вроде разобрался.

venco в сообщении #1020595 писал(а):
чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов


Я не знаю ответ на этот вопрос, поиском найти не смог. Интересно, что вы имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Если я увеличу столбец в два раза, что случится с определителем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Logan27 в сообщении #1020708 писал(а):
venco в сообщении #1020595 писал(а):
чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов

Я не знаю ответ на этот вопрос, поиском найти не смог. Интересно, что вы имели в виду?

Объём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7948
Москва
ewert в сообщении #1020702 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1020699 писал(а):
А не собственных?

Сингулярных, т.к. $A^*A$.


Cумма квадратов элементов матрицы А равна $\operatorname{tr} A^TA$
Если разложение по собственным значениям матрицы А (для простоты - диагнализуемой) имеет вид $A=X^{-1}\Lambda X$, то матрица $A^TA=X^{-1}\Lambda^2X$, собственные значения которой равны квадратам исходной, а их, квадратов с.з. исходной, равна следу этой матрицы, то есть сумме квадратов матрицы А.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Евгений Машеров в сообщении #1020713 писал(а):
то матрица $A^TA=X^{-1}\Lambda^2X$

Это только для нормальных матриц, т.е. как раз тогда, когда модули собственных чисел равны сингулярным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Пример: $\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 22:57 


28/05/15
3
ИСН в сообщении #1020709 писал(а):
Если я увеличу столбец в два раза, что случится с определителем?

ewert в сообщении #1020712 писал(а):
Объём.


Спасибо, я понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group