2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 03:18 
Добрый день!
Сама задача: "Найдите максимальное значение определителя матрицы (а) второго (б) третьего порядка, если сумма квадратов всех ее элементов не превосходит 1."
Для второго порядка - все просто. А вот с третьим уже сложнее.
Если решать через функцию Лагранжа, то у нас получается система из 10 уравнений, которую решить в лоб у меня не получается.
$\left\{\begin{matrix} M_{ij}+2\cdot x_{ij}=0 , 1\leq i,j\leq 3 \\ \sum_{i,j=1}^{3}x_{ij}^2=1 \end{matrix}\right$
Подскажите, на что тут нужно обратить внимание, чтобы упростить эту систему?

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 04:09 
Мне кажется, если вспомнить, чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов, то можно на пальцах найти максимум.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 04:30 
Аватара пользователя
А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 08:20 
У меня как-то так получилось, правильно?
$$
\left\{\begin{matrix}
\\\operatorname{Tr}{AA^{*}}=\sum\limits_i\sum\limits_j a^2_{ij}=\sum\limits_k\lambda_k\leq 1\\ 
\det{AA^{*}}=(\det{A})^2=\prod\limits_{k}\lambda_k
\end{matrix}\right
$$

Отсюда
$$
(\det{A})^2=\prod\limits_{k}\lambda_k\leq(\sum\limits_k\lambda_k\cdot\frac{1}{3})^3\leq(1\cdot\frac{1}{3})^3
$$
И тогда $\det{A}=\frac{1}{3}^{3/2}$

Покажем, что указанный определитель достигается, например на: $\operatorname{diag}{((\frac{1}{3})^{1/2},(\frac{1}{3})^{1/2},(\frac{1}{3})^{1/2})$

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 13:09 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #1020596 писал(а):
А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.


А не собственных?

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 13:15 
Евгений Машеров в сообщении #1020699 писал(а):
А не собственных?

Сингулярных, т.к. $A^*A$.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 13:55 
g______d в сообщении #1020596 писал(а):
А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

2old в сообщении #1020618 писал(а):
И тогда $\det{A}=\frac{1}{3}^{3/2}$


Спасибо! Вроде разобрался.

venco в сообщении #1020595 писал(а):
чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов


Я не знаю ответ на этот вопрос, поиском найти не смог. Интересно, что вы имели в виду?

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:06 
Аватара пользователя
Если я увеличу столбец в два раза, что случится с определителем?

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:31 
Logan27 в сообщении #1020708 писал(а):
venco в сообщении #1020595 писал(а):
чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов

Я не знаю ответ на этот вопрос, поиском найти не смог. Интересно, что вы имели в виду?

Объём.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:33 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1020702 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1020699 писал(а):
А не собственных?

Сингулярных, т.к. $A^*A$.


Cумма квадратов элементов матрицы А равна $\operatorname{tr} A^TA$
Если разложение по собственным значениям матрицы А (для простоты - диагнализуемой) имеет вид $A=X^{-1}\Lambda X$, то матрица $A^TA=X^{-1}\Lambda^2X$, собственные значения которой равны квадратам исходной, а их, квадратов с.з. исходной, равна следу этой матрицы, то есть сумме квадратов матрицы А.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:37 
Евгений Машеров в сообщении #1020713 писал(а):
то матрица $A^TA=X^{-1}\Lambda^2X$

Это только для нормальных матриц, т.е. как раз тогда, когда модули собственных чисел равны сингулярным.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 14:48 
Аватара пользователя
Пример: $\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$.

 
 
 
 Re: Найти максимум определителя
Сообщение28.05.2015, 22:57 
ИСН в сообщении #1020709 писал(а):
Если я увеличу столбец в два раза, что случится с определителем?

ewert в сообщении #1020712 писал(а):
Объём.


Спасибо, я понял.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group