2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 22:34 
Необходимо используя производящую функцию, найти последовательность.

Имеем:

$a_{n+2}-5a_{n+1}-6a_n=60 \cdot 2^n+21(-1)^n, a_0=-4, a_1=-14$


Заменяю последовательности функциями:

$[a_{n+1}]=\frac{f(x)+4}{x}$

$[a_{n+2}]=\frac{f(x)+4+14x}{x^2}$

$[1]=\frac{1}{1-x}$

$[n]=\frac{x}{(1-x)^2}$

$[2^n]=\frac{1}{1-2x}$

$[-(1)^n]=\frac{1}{1+x}$


Получаю такую функцию:

$\frac{f(x)+4+14x}{x^2}-5\frac{f(x)+4}{x}-6f(x)=\frac{60}{1-2x}+\frac{21}{x+1}$


Приводим ее к общему знаменателю:

$f(x)+4+14x-5xf(x)+4-6x^2f(x)=\frac{60x^2}{1-2x}+\frac{21x^2}{x+1}$


Все, что с $f(x)$ оставляем слева:

$f(x)-5xf(x)+4-6x^2f(x)=\frac{60x^2}{1-2x}+\frac{21x^2}{x+1}-4-14x$


Теперь выносим слева $f(x)$ за скобки и приводим правую часть к общему знаменателю:

$f(x)=\frac{46x^3+111x^2-6x-8}{(1-2x)(x+1)(-x-1)(6x-1)}$


Далее я пытаюсь разложить в сумму простых дробей:

$46x^3+111x^2-6x-8=\frac{A}{-x-1}+\frac{B}{6x-1}+\frac{C}{1-2x}+\frac{D}{x+1}$


Далее я пробовал пытался избавиться от знаменателя справа, но Я ТАК И НЕ СМОГ ПОДОБРАТЬ КОРНИ!

Может, я где ошибся?

Посмотрите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 22:47 
sunday в сообщении #1020174 писал(а):
$46x^3+111x^2-6x-8=\frac{A}{-x-2}+\frac{B}{6x-1}+\frac{C}{1-2x}+\frac{D}{x+1}$

Далее я пробовал пытался избавиться от знаменателя справа
А где знаменатель слева? И у вас тут, если предыдущее верно, одна, надеюсь, опечатка в знаменателе $\frac A{-x-2}$.

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 22:52 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #1020185 писал(а):
И у вас тут, если предыдущее верно, одна, надеюсь, опечатка

И не надейтесь. Там какой-то сплошной хаос в переходе от каждой формулы к следующей. (Я тоже по привычке начал читать снизу и хотел сказать об этом несоответствии, но потом понял, что смысла нет.)

sunday
Проследите хоть немного за формулами, пжл. За тем, чтобы весь числитель умножался на $x,$ например, а не только первое слагаемое. И вспомните, что при переносе из одной части равенства в другую нужно менять знак слагаемых. Если появляются подобные, их нужно приводить. И т.п. ($5\cdot x^2 \ne 6x^2$)

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 22:59 
arseniiv в сообщении #1020185 писал(а):
sunday в сообщении #1020174 писал(а):
$46x^3+111x^2-6x-8=\frac{A}{-x-2}+\frac{B}{6x-1}+\frac{C}{1-2x}+\frac{D}{x+1}$

Далее я пробовал пытался избавиться от знаменателя справа
А где знаменатель слева? И у вас тут, если предыдущее верно, одна, надеюсь, опечатка в знаменателе $\frac A{-x-2}$.


Да, действительно, то было опечаткой.

А вот по поводу знаменателя, его там нет.

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 23:03 
А тут тогда в знаменателе не знаменатель разве? :shock:
sunday в сообщении #1020174 писал(а):
$f(x)=\frac{46x^3+111x^2-6x-8}{(1-2x)(x+1)(-x-1)(6x-1)}$

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 23:09 
Цитата:
sunday
Проследите хоть немного за формулами, пжл. За тем, чтобы весь числитель умножался на $x,$ например, а не только первое слагаемое. И вспомните, что при переносе из одной части равенства в другую нужно менять знак слагаемых. Если появляются подобные, их нужно приводить. И т.п. ($5\cdot x^2 \ne 6x^2$)[/quote
]

Спасибо, нашел ошибку.

-- 26.05.2015, 23:10 --

arseniiv в сообщении #1020200 писал(а):
А тут тогда в знаменателе не знаменатель разве? :shock:
sunday в сообщении #1020174 писал(а):
$f(x)=\frac{46x^3+111x^2-6x-8}{(1-2x)(x+1)(-x-1)(6x-1)}$



Ах, да. Извините, не заметил.

Я сейчас исправляю ошибку выше, а именно я числитель не полностью умножил у второго слагаемого, когда приводил к общему знаменателю вначале.

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение26.05.2015, 23:49 
Аватара пользователя
sunday
И не забудьте ещё, что если перед дробью стоит минус, то при избавлении от знаменателя нужно не забывать, что все слагаемые в числителе меняют знаки подобно раскрытию скобок с минусом перед скобками.
А то провозитесь ещё час впустую :)

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение27.05.2015, 02:18 
Всем спасибо за помощь. За такие ошибки стыдно перед самим собой. И жалко потраченных 6 часов.

Почти все решил, проверил через MathCad.

Получилось: $f(x)=\frac{-5}{1-2x}-\frac{2}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}$

Осталось самое последнее:

чему равна последовательность для производящей функции $\frac{3}{(x+1)^2}$ ?

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение27.05.2015, 02:23 
sunday в сообщении #1020248 писал(а):
чему равна последовательность для производящей функции $\frac{3}{(x+1)^2}$ ?
А как тут из первой строчки вторая берется, не знаете, часом?
sunday в сообщении #1020174 писал(а):
$[1]=\frac{1}{1-x}$
$[n]=\frac{x}{(1-x)^2}$

 
 
 
 Re: Найти последовательность через производящую функцию
Сообщение27.05.2015, 02:25 
Намекаю: $\frac3{(x+1)^2}=(\dots)'$

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group