Найти последовательность через производящую функцию

[sunday]

Необходимо используя производящую функцию, найти последовательность.

Имеем:

$a_{n+2}-5a_{n+1}-6a_n=60 \cdot 2^n+21(-1)^n, a_0=-4, a_1=-14$

Заменяю последовательности функциями:

$[a_{n+1}]=\frac{f(x)+4}{x}$

$[a_{n+2}]=\frac{f(x)+4+14x}{x^2}$

$[1]=\frac{1}{1-x}$

$[n]=\frac{x}{(1-x)^2}$

$[2^n]=\frac{1}{1-2x}$

$[-(1)^n]=\frac{1}{1+x}$

Получаю такую функцию:

$\frac{f(x)+4+14x}{x^2}-5\frac{f(x)+4}{x}-6f(x)=\frac{60}{1-2x}+\frac{21}{x+1}$

Приводим ее к общему знаменателю:

$f(x)+4+14x-5xf(x)+4-6x^2f(x)=\frac{60x^2}{1-2x}+\frac{21x^2}{x+1}$

Все, что с $f(x)$ оставляем слева:

$f(x)-5xf(x)+4-6x^2f(x)=\frac{60x^2}{1-2x}+\frac{21x^2}{x+1}-4-14x$

Теперь выносим слева $f(x)$ за скобки и приводим правую часть к общему знаменателю:

$f(x)=\frac{46x^3+111x^2-6x-8}{(1-2x)(x+1)(-x-1)(6x-1)}$

Далее я пытаюсь разложить в сумму простых дробей:

$46x^3+111x^2-6x-8=\frac{A}{-x-1}+\frac{B}{6x-1}+\frac{C}{1-2x}+\frac{D}{x+1}$

Далее я пробовал пытался избавиться от знаменателя справа, но Я ТАК И НЕ СМОГ ПОДОБРАТЬ КОРНИ!

Может, я где ошибся?

Посмотрите, пожалуйста.

[arseniiv]

sunday в сообщении #1020174 писал(а):

$46x^3+111x^2-6x-8=\frac{A}{-x-2}+\frac{B}{6x-1}+\frac{C}{1-2x}+\frac{D}{x+1}$

Далее я пробовал пытался избавиться от знаменателя справа

А где знаменатель слева? И у вас тут, если предыдущее верно, одна, надеюсь, опечатка в знаменателе $\frac A{-x-2}$.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1020185 писал(а):

И у вас тут, если предыдущее верно, одна, надеюсь, опечатка

И не надейтесь. Там какой-то сплошной хаос в переходе от каждой формулы к следующей. (Я тоже по привычке начал читать снизу и хотел сказать об этом несоответствии, но потом понял, что смысла нет.)

sunday
Проследите хоть немного за формулами, пжл. За тем, чтобы весь числитель умножался на $x,$ например, а не только первое слагаемое. И вспомните, что при переносе из одной части равенства в другую нужно менять знак слагаемых. Если появляются подобные, их нужно приводить. И т.п. ($5\cdot x^2 \ne 6x^2$)

[sunday]

arseniiv в сообщении #1020185 писал(а):

sunday в сообщении #1020174 писал(а):

$46x^3+111x^2-6x-8=\frac{A}{-x-2}+\frac{B}{6x-1}+\frac{C}{1-2x}+\frac{D}{x+1}$

Далее я пробовал пытался избавиться от знаменателя справа

А где знаменатель слева? И у вас тут, если предыдущее верно, одна, надеюсь, опечатка в знаменателе $\frac A{-x-2}$.

Да, действительно, то было опечаткой.

А вот по поводу знаменателя, его там нет.

[arseniiv]

А тут тогда в знаменателе не знаменатель разве?

sunday в сообщении #1020174 писал(а):

$f(x)=\frac{46x^3+111x^2-6x-8}{(1-2x)(x+1)(-x-1)(6x-1)}$

[sunday]

Цитата:

sunday
Проследите хоть немного за формулами, пжл. За тем, чтобы весь числитель умножался на $x,$ например, а не только первое слагаемое. И вспомните, что при переносе из одной части равенства в другую нужно менять знак слагаемых. Если появляются подобные, их нужно приводить. И т.п. ($5\cdot x^2 \ne 6x^2$)[/quote

]

Спасибо, нашел ошибку.

-- 26.05.2015, 23:10 --

arseniiv в сообщении #1020200 писал(а):

А тут тогда в знаменателе не знаменатель разве?

sunday в сообщении #1020174 писал(а):

$f(x)=\frac{46x^3+111x^2-6x-8}{(1-2x)(x+1)(-x-1)(6x-1)}$

Ах, да. Извините, не заметил.

Я сейчас исправляю ошибку выше, а именно я числитель не полностью умножил у второго слагаемого, когда приводил к общему знаменателю вначале.

[grizzly]

sunday
И не забудьте ещё, что если перед дробью стоит минус, то при избавлении от знаменателя нужно не забывать, что все слагаемые в числителе меняют знаки подобно раскрытию скобок с минусом перед скобками.
А то провозитесь ещё час впустую :)

[sunday]

Всем спасибо за помощь. За такие ошибки стыдно перед самим собой. И жалко потраченных 6 часов.

Почти все решил, проверил через MathCad.

Получилось: $f(x)=\frac{-5}{1-2x}-\frac{2}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}$

Осталось самое последнее:

чему равна последовательность для производящей функции $\frac{3}{(x+1)^2}$ ?

[Otta]

sunday в сообщении #1020248 писал(а):

чему равна последовательность для производящей функции $\frac{3}{(x+1)^2}$ ?

А как тут из первой строчки вторая берется, не знаете, часом?

sunday в сообщении #1020174 писал(а):

$[1]=\frac{1}{1-x}$
$[n]=\frac{x}{(1-x)^2}$

[iifat]

Намекаю: $\frac3{(x+1)^2}=(\dots)'$