Частичные суммы Фурье не сходятся слабо к Id в L_1[-pi; pi]

[firone]

Я решаю задачу про сходимость частичных сумм Фурье (операторы) в $L_p[-\pi;\pi]$. Используя неравенство Минковского и Хаусдорфа-Юнга можно оценить норму $|| (A_nx)(t) - (A_mx)(t) ||$ произвольным числом, тем самым имеем сильную сходимость при $p=2, 3 ...$. В то же время нет равномерной сходимости (если рассмотреть $f_n=\sin((n+1)t)$ , то $|| A_n - Id || \geq \frac{||(A_n - Id)(f_n) ||}{|| f_n ||} = 1)$ )

В $L_1[-\pi; \pi]$ же нет даже слабой сходимости $A_n \not \rightharpoonup Id$, как это можно доказать?

Сходимость $A_n \rightharpoonup Id$ по определению означает, что $\forall x(t): (A_nx)(t) \rightharpoonup x(t)$,
это, в свою очередь означает, что $\forall$ функционала $f: f((A_nx)(t)) \rightarrow f(x(t))$ как обычная последовательность.
То есть нужно найти такие функционал "$f$" и функцию "$x(t)$" из $L_1[-\pi;\pi]\;$ , что последней сходимости нет? Не могу найти что-то.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы недооформлены $\TeX$ом

firone
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом правильно. Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов. Про тег math для начала проще забыть. Формулы с картинке набирайте в теме буковками с клавиатуры и $\TeX$ом, если нужно, саму картинку сносите в любом случае.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[firone]

Из слабой сходимости на L1 следовала бы слабая ограниченность, из нее - ограниченность по норме. К тому же на C1 (которое всюду плотно в L1) сходимость имеется. По критерию получаем сильную сходимость на L1, что неверно (есть примеры функций, ряды которых расходятся во всех точках на L1)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.