Суммирование ряда

[Tulse_Luper]

Подскажите, пожалуйста, как искать суммы следующего ряда.
$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{(k+1)^2 9^k}$
Вот что у меня получилось:
$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{(k+1)^2 9^k}=\lim\limits_{x\rightarrow\frac19-0}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{(k+1)^2}$.
$\sum\limits_{k=1}^\infty x^k=\frac{x}{1-x}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^{k+1}}{(k+1)}=-\ln(1-x)-x\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{(k+1)}=-\frac{\ln(1-x)}{x}-1$.

$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^{k}}{(k+1)^2}=-\frac1{x}\int\limits_{0}^{x}(\frac{\ln(1-t)}{t}+1)dt$
Не знаю как посчитать вот этот интеграл $\int\limits_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}dt$. Может быть его можно выразить, через какие нибудь специальные функции?
А может, можно как нибудь построить функцию, коэффициенты Фурье которой будут равны $\frac1{(k+1)3^k}$ и затем воспользоваться равенством Парсеваля?

[nnosipov]

Суммы такого вида выражаются через полилогарифмы. Упростить итоговое выражение (т.е. обойтись без спецфункций) можно в редких случаях. С девяткой Вам не повезло, но будь на её месте двойка, ответ можно было бы выразить через константы типа $\pi$.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #631399 писал(а):

Sonic86 в сообщении #631392 писал(а):

А где про полилогарифмы почитать?

Например, здесь:
Lewin L., Polylogarithms and associated functions, Elsevier North Holland, 1981.

[Tulse_Luper]

Спасибо.
Получается можно было сразу через полилогарифм ответ записать, без всяких манипуляций.