2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти сумму ряда
Сообщение15.10.2012, 21:03 
Вот такой ряд появился:
$$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{H_k}{k\cdot 3^k}$$
где $H_k=\sum\limits_{j=1}^k\frac{1}{j}$ - гармонические числа.
Надо бы его явно сосчитать, а я не могу :-(
1. Пробовал считать ПФ $f(t)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{H_kt^k}{k\cdot 3^k}$, получается $f'(t)=-\frac{\ln(1-t/3)}{t(1-t/3)}$ - не интегрируется.
2. Заметил, что в знаменателе стоят числа всевозможные $ij, i\leqslant j$. Тогда $2S=\left(\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j\cdot 3^j}\right)^2-\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2\cdot 3^k}$, 1-я сумма - $\ln\frac{3}{2}$, а 2-ю опять не знаю. Считаю опять ПФ: $r(t)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{t^k}{k^2}$, тогда $r'(t)=-\frac{\ln(1-t)}{t}$ - опять интеграл не берется.
3. Зашел в Maple. Он сказал, что последняя сумма равна $\mathrm{polylog}\left(2,\frac{1}{3}\right)$. Это означает, что я его не сосчитаю? А где про полилогарифмы почитать? Наверное в гугле...

Что делать :-(

(Оффтоп)

Савсэм забыл матанализ :facepalm:

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.10.2012, 21:15 
Sonic86 в сообщении #631392 писал(а):
А где про полилогарифмы почитать?
Например, здесь:
Lewin L., Polylogarithms and associated functions, Elsevier North Holland, 1981.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.10.2012, 21:38 
Спасибо! Почитаю...

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group