Доказать, что уравнение имеет одно решение

[AndreyXYZ]

В ходе решения экономической задачи (а именно, вычисления полной стоимости кредита), я пришёл к такому уравнению:
$l^{(m+1)}+M=(1+M)l^m$
$M>0, l>0, m - $целое

Необходимо доказать, что данное уравнение имеет не более одного решения. Построил графики, взял производные, вроде очевидно. Но доказать не могу.

[ShMaxG]

Относительно чего решается уравнение? Если $m=1$, $M=5$, то уравнение относительно $l$ имеет два положительных корня, $l_{1,2}=1,5$.

Приведите все ограничения на переменные и параметры.

[ewert]

AndreyXYZ в сообщении #1018020 писал(а):

Построил графики, взял производные, вроде очевидно. Но доказать не могу.

Ну у производной ведь два корня, не так ли? Причём в левом из них, т.е. в нуле, функция (после переноса всего в левую часть) положительна. Так что остаётся лишь доказать, что и в правом (который явно выписывается) она тоже положительна.

Правда, ничего из этого не выйдет: очевидно, что при $l>1$ достаточно большие $M$ загонят значение функции в отрицательную область. Так что вплоть до трёх корней, увы.

[AndreyXYZ]

Забыл указать, что m и М - это параметры. Нужно найти l

[AndreyXYZ]

Изначально задача была такая:
$(q(1+q)^m)/((1+q)^m-1)=i(1+i)^m/((1+i)^m-1)$
i>0, q>0, m>0, m-целое

Можно ли доказать, что i=q - единственное положительное решение?

[grizzly]

Не могу понять Ваши затруднения.
Посмотрите на функцию: $f(x)=\dfrac{x(1+x)^m}{(1+x)^m-1}, x>0$.
Уточните, пжл, Вы не можете доказать, что она строго возрастает при $x>0$?
или не можете понять, как воспользоваться этой монотонностью для ответа на Ваш вопрос?

[AndreyXYZ]

>Уточните, пжл, Вы не можете доказать, что она строго возрастает при $x>0$?

Да, это не могу доказать. Взял производную, получилось

$f'(x)=\dfrac{(1+x)^{2m}-mx(1+x)^{m-1}-(1+x)^m}{((1+x)^m-1)^2}$

и не очевидно, что она больше нуля при любых $x>0$

Нужно доказать, что

$f'(x)=(1+x)^{m+1}-(m+1)x-1>0$

[arseniiv]

Бином же Ньютона же.

[AndreyXYZ]

Спасибо, понял!

[ewert]

AndreyXYZ в сообщении #1018183 писал(а):

i=q - единственное положительное решение?

Оно не может быть единственным положительным решением просто потому, что оно чисто мнимое.

Пока Вы не прекратите придумывать как можно более извращённые обозначения -- так и будете задавать вопросы. Ну или наоборот.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

AndreyXYZ
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.