2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 оценить $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$
Сообщение12.05.2015, 16:18 


12/05/15
2
Нужно оценить асимптотически $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$, где p - простые, т.е. сумма по простым до n.

Применяю интегральное преобразование Абеля (Формула суммирования Абеля). пусть $g(n)=1$, если n-простое и $g(n)=0$ если n не простое.
$$\sum_{n\leqslant x} g(n) \frac {\ln(x-1)}{x} - \int_{1}^x\left(\sum_{n\leqslant t} g(n)\right) \cdot \left(\frac{\ln(t-1)}{t}\right)'dt$$
Сумма будет равна $\pi(x) \cdot \frac{x-1}{x}$, а интеграл разобьется на разность интегралов:
$$\int_{1}^x\pi(t) \cdot \frac{t}{t^3-t^2}dt-\int_{1}^x\pi(t) \cdot \frac{\ln(t-1)}{t^2}dt$$.
Подскажите что с этим можно сделать, пожалуйста. Смущает $\pi(t)$ под интегралом

 Профиль  
                  
 
 Re: $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$
Сообщение12.05.2015, 16:30 


20/03/14
12041
asdenok
Смените название темы на содержательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$
Сообщение12.05.2015, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вам именно через $\pi(x)$ надо сделать? Гораздо проще, чем асимптотический закон, получается формула
$$
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1).
$$
Нужно посмотреть на каноническое разложение факториала и формулу Стирлинга. Есть у Виноградова в "Основах теории чисел". Ну а ваша формула ничем почти не отличается, просто надо заменить $\ln(p-1)$ на $\ln p$ и оценить получающуюся ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: оценить $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$
Сообщение12.05.2015, 17:24 


12/05/15
2
ex-math
желательно через $\pi$, понимаю что нужно заменить $\pi(x)$ на интегральный логарифм $\int_{0}^x \frac {dt}{\ln t}$, но как потом искать ошибку? Через асимптотику у меня вылезает сумма $\sum_{p\leqslant n} \frac {1}{p^2}$ которую так же не могу посчитать

-- 12.05.2015, 17:57 --

известно ли чему асимтотичемки равна сумма $\sum_{p\leqslant n} \frac {1}{p^2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: оценить $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$
Сообщение12.05.2015, 21:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
asdenok в сообщении #1013889 писал(а):
Нужно оценить асимптотически $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$

$\sim\ln x$.
Вообще, для $p_n$ известна асимптотика. Подставляете ее в сумму с точностью до нужного члена, пределы заменяете на $n\leqslant\pi (x)$, получаете стандартную задачу из матана о нахождении асимптотики суммы. Для ее решению юзаются аналоги интегрирования по частям (формула Абеля) + обычное суммирование + формула Эйлера-Маклорена. В частных случаях возможны более простые способы вычисления.

asdenok в сообщении #1013940 писал(а):
известно ли чему асимтотичемки равна сумма $\sum_{p\leqslant n} \frac {1}{p^2}$ ?

$=\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{1}{p^2}-\sum\limits_{p>n}\frac{1}{p^2}=\operatorname{const}-\Theta\left(\frac{1}{n\ln n}\right)$. Для расчета константы суммирования нужно использовать другие способы (см. A085548). У второй суммы порядок точности можно увеличить.

 Профиль  
                  
 
 Re: оценить $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$
Сообщение12.05.2015, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
То есть Вы не ищете легких путей. Можете четко сформулировать задачу? Зачем именно через $\pi $, с какой точностью нужна асимптотика, для чего?

-- 12.05.2015, 22:24 --

По поводу суммы обратных квадратов, это $O (1) $.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group