Вложение банаховых пространств

[vhz]

Если я всё правильно понимаю, оператор вложения произвольного банахова пространства $B_1$ в некоторое банахово пространство $B_2$ всегда является линейным непрерывным оператором, определённым на всём пространстве $B_1$. Следовательно, этот оператор замкнут, и образом пространства $B_1$ является замкнутое подпространство пространства $B_2$. Что тогда означает фраза "$B_1$ плотно вложено в $B_2$"? Каким образом замкнутое подпространство пространства $B_2$ может быть плотным в $B_2$, но не совпадать с $B_2$? Что-то я совсем запутался.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

vhz
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[mihailm]

vhz в сообщении #1005388 писал(а):

...Каким образом замкнутое подпространство пространства $B_2$ может быть плотным в $B_2$, но не совпадать с $B_2$?...

Никаким. Наверно речь шла о вложениях неполных (небанаховых) пространств

[vhz]

mihailm Спасибо!

mihailm в сообщении #1005414 писал(а):

Наверно речь шла о вложениях неполных (небанаховых) пространств

Возможно. Смутило определение из книги Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов. http://padaread.com/?book=29388&pg=9 Определение 1.2.

[g______d]

vhz в сообщении #1005388 писал(а):

Следовательно, этот оператор замкнут

Да.

vhz в сообщении #1005388 писал(а):

образом пространства $B_1$ является замкнутое подпространство пространства $B_2$

Нет. Возьмите, например, вложение $C[0,1]$ в $L^2[0,1]$.

[vhz]

g______d Спасибо.
Я ошибочно посчитал, будто замкнутый оператор является замкнутым отображением (переводящим каждое замкнутое множество в замкнутое).

[ewert]

vhz в сообщении #1005388 писал(а):

Что тогда означает фраза "$B_1$ плотно вложено в $B_2$"?

Что в них разные метрики.