Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?

[lampard]

Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней двойки.

Давайте попробуем. Пусть $n\geqslant m$, тогда $2008!=2^n+2^m=2^m(2^{n-m}+1)$

В $2008!$ двойка встречается $1004$ раза. То есть $2008!$ делится на $2^{1004}$, но на $2^{1005}$ не делится.

Тогда $m=1005$, a $n>1005$.
Пока что только такие идеи. Подскажите, пожалуйста, -- в каком направлении думать?

[VanD]

lampard в сообщении #1001564 писал(а):

То есть $2008!$ делится на $2^{1004}$, но на $2^{1005}$ не делится

Это не верно. Например, уже в множителе $4$ двоек на самом деле две.

[lampard]

VanD в сообщении #1001567 писал(а):

lampard в сообщении #1001564 писал(а):

То есть $2008!$ делится на $2^{1004}$, но на $2^{1005}$ не делится

Это не верно. Например, уже в множителе $4$ двоек на самом деле две.

Да, вы правы. Но за что тут можно тогда зацепиться, подскажите, пожалуйста!

[VanD]

Я бы посмотрел на чётности степеней. Одинаковые они или разные? Для ответа на этот вопрос сумму двоек в степенях сравнил бы с $0$ по модулю $3$ и ещё одному).

[ИСН]

По-моему, достаточно делимости на 3 и 5. Может быть, можно и ещё упростить.

[nnosipov]

lampard
После того, как правильно подсчитаете $m$, заметьте, что $n$ и $m$ должны быть одной чётности. После этого можно будет заняться тройками.

Наверное, есть способ побыстрее сделать, но не вижу как.

-- Ср апр 08, 2015 18:40:48 --

ИСН в сообщении #1001572 писал(а):

По-моему, достаточно делимости на 3 и 5.

Да, действительно.