2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?
Сообщение08.04.2015, 13:47 
Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней двойки.

Давайте попробуем. Пусть $n\geqslant m$, тогда $2008!=2^n+2^m=2^m(2^{n-m}+1)$

В $2008!$ двойка встречается $1004$ раза. То есть $2008!$ делится на $2^{1004}$, но на $2^{1005}$ не делится.

Тогда $m=1005$, a $n>1005$.
Пока что только такие идеи. Подскажите, пожалуйста, -- в каком направлении думать?

 
 
 
 Re: Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?
Сообщение08.04.2015, 13:54 
lampard в сообщении #1001564 писал(а):
То есть $2008!$ делится на $2^{1004}$, но на $2^{1005}$ не делится

Это не верно. Например, уже в множителе $4$ двоек на самом деле две.

 
 
 
 Re: Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?
Сообщение08.04.2015, 14:01 
VanD в сообщении #1001567 писал(а):
lampard в сообщении #1001564 писал(а):
То есть $2008!$ делится на $2^{1004}$, но на $2^{1005}$ не делится

Это не верно. Например, уже в множителе $4$ двоек на самом деле две.

Да, вы правы. Но за что тут можно тогда зацепиться, подскажите, пожалуйста!

 
 
 
 Re: Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?
Сообщение08.04.2015, 14:03 
Я бы посмотрел на чётности степеней. Одинаковые они или разные? Для ответа на этот вопрос сумму двоек в степенях сравнил бы с $0$ по модулю $3$ и ещё одному).

 
 
 
 Re: Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?
Сообщение08.04.2015, 14:06 
Аватара пользователя
По-моему, достаточно делимости на 3 и 5. Может быть, можно и ещё упростить.

 
 
 
 Re: Является ли число 2008! суммой двух натуральных степеней 2?
Сообщение08.04.2015, 14:07 
lampard
После того, как правильно подсчитаете $m$, заметьте, что $n$ и $m$ должны быть одной чётности. После этого можно будет заняться тройками.

Наверное, есть способ побыстрее сделать, но не вижу как.

-- Ср апр 08, 2015 18:40:48 --

ИСН в сообщении #1001572 писал(а):
По-моему, достаточно делимости на 3 и 5.
Да, действительно.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group