Снова вопрос о падении в чёрную дыру

[Pphantom]

Munin в сообщении #998595 писал(а):

Собственно, при коллапсе сверхновой в сам релятивистский объект уходит далеко не вся масса звезды, а немалая часть распыляется вдребезги в пространстве (так возникает планетарная туманность).

Только не планетарная туманность, а остаток вспышки сверхновой. Планетарная туманность - это тихо-мирно сброшенная оболочка красного гиганта, без всяких коллапсов и прочих шумных спецэффектов.

[Munin]

Да, прошу прощения. Я полагал, что планетарная туманность образуется последовательно из обоих источников (сначала из звёздного ветра красного гиганта, потом из вещества, оставшегося при коллапсе), и поленился уточнить. Я не знал, что только из одного.

-- 31.03.2015 20:00:50 --

Pphantom
Вот если бы вы по угловому моменту прояснили вопрос...

[Pphantom]

Munin в сообщении #998609 писал(а):

Я полагал, что планетарная туманность образуется последовательно из обоих источников (сначала из звёздного ветра красного гиганта,

Строго говоря, это и не звездный ветер. Это именно внешняя оболочка гиганта, отделяющаяся от ядра как целое, а не сдуваемая постепенно.

Munin в сообщении #998609 писал(а):

Вот если бы вы по угловому моменту прояснили вопрос...

Боюсь, что это никто толком сделать не сможет.

[Munin]

Что-то совсем перестал понимать. Сброшенная тихо-мирно, но не звёздным ветром? Это как?

[Dmitriy40]

Не тихо-мирно, а единомоментно в процессе взрыва, как (почти) единое целое, а не в процессе жизни звезды в форме звёздного ветра. Я понял как-то так. Плюс ветер почти равномерно рассеивается, а сброшенная оболочка всё равно остаётся со значительной радиальной флуктуацией плотности.

[Pphantom]

Munin в сообщении #998721 писал(а):

Что-то совсем перестал понимать. Сброшенная тихо-мирно, но не звёздным ветром? Это как?

Dmitriy40 в сообщении #998726 писал(а):

Не тихо-мирно, а единомоментно в процессе взрыва, как (почти) единое целое, а не в процессе жизни звезды в форме звёздного ветра. Я понял как-то так.

Так, похоже, я всех запутал, нужно объяснять подробнее.

Когда звезда стала красным гигантом, у нее образуется протяженная водородная оболочка (собственно, гигантом ее и делающая). Затем с ядром звезды происходят разные процессы, которые нас сейчас не интересуют, а из внешней оболочки происходит достаточно существенное истечение вещества в виде звездного ветра.

Однако, на определенной стадии эволюции, оболочка как целое отделяется от ядра и начинает постепенно расширяться в пространстве. Это, в отличие от истечения звездного ветра, "разовое" и довольно быстрое (порядка $10^4$ лет) явление, не сопровождающееся, однако, какими-то резкими изменениями в структуре ядра, в частности, взрывами. Собственно, эта самая оболочка после некоторого расширения и называется планетарной туманностью. Механизм отделения оболочки неясен, по этому поводу есть разные мнения. В принципе, один из них связан со звездным ветром, но предполагает, что в некоторый момент, когда ядро (которое уже почти стало центральной звездой планетарной туманности) сжимается, то световое давление в оболочке растет, интенсивность и скорость звездного ветра резко увеличиваются, и получившийся высокоскоростной ветер "сгребает" вещество, натекшее за время существования красного гиганта за счет обычного ветра, в сравнительно тонкий и плотный слой.

А вот к взрыву сверхновой планетарные туманности совсем никакого отношения не имеют. Звезда, оставшаяся в центре (бывшее ядро) - это будущий белый карлик, нейтронизация которого (и, соответственно, вспышка в виде сверхновой) исключена - массы не хватит. В Галактике центральные звезды планетарных туманностей, кажется, больше $0.8~\mathfrak{M}_\odot$ не бывают, по другим галактикам можно найти до $\approx 1~\mathfrak{M}_\odot$, но это все равно меньше предела Чандрасекара.

[Dmitriy40]

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):

не сопровождающееся, однако, какими-то резкими изменениями в структуре ядра, в частности, взрывами.

Благодарю за разъяснения, я действительно отождествлял сброс оболочки с процессами в ядре (взрывом).

(поторопился и неправильно назвал)

Точнее я опять поторопился и криво сформулировал, там не взрыв, а остывание ядра после сброса оболочки и прекращение ядерных реакций, взрывом это я назвал некорректно, понял.

[KVV]

Munin в сообщении #998595 писал(а):

Хотя картина сложна и едва ли понята даже в общих чертах.

Да. Я со своей стороны надеюсь, что эти утверждения на Scholarpedia взяты не с потолка. Вероятно, кто-то уже занимался моделированием этих задач. Но к слову, помнится мне, что у нейтронных звезд спин доходит до $0.5$.

Munin в сообщении #998595 писал(а):

Какое-нибудь слияние двух чёрных дыр - тоже может произойти только при не слишком большом угловом моменте.

Почему? Если они вращаются вокруг общего центра масса и, теряя энергию с гравитационными волнами, приближаются друг к другу, то куда они денутся?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #998151 писал(а):

Ускорение свободного падения находим из уравнения геодезической при $u^{\mu}=(1/\!\sqrt{g_{tt}},0,0,0)$:

$$\begin{gathered}\dfrac{d^2r}{ds^2}=-\Gamma^r_{\mu\nu}u^\mu u^\nu,\quad\Gamma^r_{tt}=\dfrac{r_g}{2r^2}\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)\\a=\dfrac{d^2\widetilde{r}}{ds^2}=-\sqrt{g_{rr}}\,\Gamma^r_{tt}g_{tt}^{-1}=-\dfrac{r_g}{2r^2}\dfrac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}=-\dfrac{k}{2r_g}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)^2,\end{gathered}$$

где $d\widetilde{r}$ - радиальная координата в местном масштабе

Ой-ой-ой... Какой стыд и срам!

Во-первых, ракета с включёнными двигателями по геодезической не движется $\frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds} \ne 0$

Во-вторых, ускорение испытываемое ракетой вычисляется по формуле $w^{\mu} = \frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds}$.

В частности, свободно падающее тело не испытывает ускорения $w^{\mu} = 0$, то есть движется по геодезической $\frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds} = 0$.

Я недавно решал задачку об ускорении испытываемом ракетой движущейся радиально со скоростью $v(r)$ относительно неподвижной системы отсчёта:

SergeyGubanov в сообщении #975814 писал(а):

С радиальным движением можно придумать немного другую задачку.

Задачка 2. Ракета летит чисто радиально с переменной скоростью $v(r)$ относительно системы отсчёта неподвижной относительно гравитирующего небесного тела. Что показывает акселерометр установленный в ракете?

План решения. Лоренцевским бустом тетрады неподвижной системы перейти в систему отсчёта движущейся радиально со скоростью $v(r)$. Найти четырёхскорость и четырёхускорение движущейся системы. Спроектировать четырёхускорение на тетраду движущейся системы отсчёта (эти проекции и будут показаниями акселерометра установленного в ракете).

Поехали...

Метрика (в системе координат Пенлевэ):

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2 $$

Система отсчёта неподвижная относительно небесного тела (назовём её -- системой отсчёта Шварцшильда):

$$ e_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_{(1)} = \frac{\sqrt{\frac{a}{r}}}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t} + \sqrt{1-\frac{a}{r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}. $$

Система отсчёта движущаяся радиально со скоростью $v(r)$ относительно системы отсчёта Шварцшильда:

$$ e'_{(0)} = \frac{1}{ \sqrt{1-v^2} } \left( e_{(0)} + v \, e_{(1)} \right) = \frac{1+v \sqrt{ \frac{a}{r} } }{ \sqrt{1 - \frac{a}{r}} \sqrt{1 - v^2} } \frac{\partial}{\partial t} + \frac{v \sqrt{1 - \frac{a}{r}}}{\sqrt{1-v^2}} \frac{\partial}{\partial r} $$

$$ e'_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \left( v \, e_{(0)} + e_{(1)} \right) = \frac{v + \sqrt{ \frac{a}{r} }}{ \sqrt{1 - \frac{a}{r} } \sqrt{1 - v^2} }\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\sqrt{1 - \frac{a}{r}}}{\sqrt{1-v^2}} \frac{\partial}{\partial r} $$

$$ e'_{(2)} = e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta} $$

$$ e'_{(3)} = e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi} $$

Четырёхскорость движущейся системы

$$ u^{\mu} = e'^{\mu}_{(0)} = \left\{ \frac{1+v \sqrt{ \frac{a}{r} } }{ \sqrt{1 - \frac{a}{r}} \sqrt{1 - v^2} }, \frac{v \sqrt{1 - \frac{a}{r}}}{\sqrt{1-v^2}}, 0, 0 \right\}. $$

Четырёхускорение:

$$ w^{\mu} = u^{\alpha} ( D_{\alpha} u^{\mu} ) = u^{\alpha} \partial_{\alpha} u^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta} $$

Проекции четырёхускорения на орты движущейся системы отсчёта:

$$ w'^{(a)} = w^{\mu} e'^{(a)}_{\mu} = \left\{0, \; \frac{a}{2 r^2 \sqrt{1 - \frac{a}{r} }} \frac{ 1 - v^2 + 2 r \left( \frac{r}{a} - 1\right) v \frac{dv}{dr} }{ \left( 1 - v^2 \right)^{3/2} }, \; 0, \; 0 \right\} $$

Немножко проанализируем полученный ответ.

1) Если $ \frac{dv}{dr} = 0$, то получаем формулу для ускорения из прошлой задачи взятую при $\theta = 0$ с мнемоническим правилом (которое напоминает чего-то до боли знакомое):

$$ M \to \frac{M}{\sqrt{1 - v^2}} $$

2) Решая уравнение

$$ 1 - v^2 + 2 r \left( \frac{r}{a} - 1\right) v \frac{dv}{dr} = 0 $$

получаем, что свободно падающей системе отсчёта соответствует

$$ v(r) = - \sqrt{ \frac{a}{r} } $$

что и было понятно с самого начала (из явного вида метрики в координатах Пенлевэ).

Для зависшей ракеты надо подставить $v= 0$ и $a = \frac{2 k M}{c^2}$:

$$ w^{(a)} = \frac{1}{c^2} \, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2 k M}{c^2 r} }} \left\{0, \; \frac{k M}{r^2}, \; 0, \; 0 \right\} $$

[aa_dav]

Давно любопытствовал, но гугл не помогал.
Видел/знает кто точную формулу для того какой коэффициент замедления времени будет у сферического тела массой $M$ и радиусом $R$ (равномерная плотность), в зависимости от высоты над поверхностью $r$ в бесконечно удалённой ИСО? Всё что находил поиском оно для слабых гравиполей и там видно что формула вырождается когда $g$ в какой то пропорции вступает с $c$, так что вместо стремления замедления к бесконечности при критических параметрах оно как то не так себя ведет.

[KVV]

aa_dav
Я не вижу отличий от обычного случая с шварцшильдовой метрикой.

[aa_dav]

KVV в сообщении #998917 писал(а):

Я не вижу отличий от обычного случая с шварцшильдовой метрикой.

У Шварцильда сразу же сингулярность. А как насчёт Юпитера, два юпитера, 100 юпитеров, эннадцать юпитеров - какая формула, если я сяду на поверхность произвольной планеты с массой $M$ по сравнению с бесконечно удаленной ИСО? Так понятнее?

[KVV]

На поверхности планеты радиусом $R$? Ровно та же, что и в метрике Шварцшильда на расстоянии $R$ от центра.

[aa_dav]

KVV в сообщении #998985 писал(а):

На поверхности планеты радиусом $R$? Ровно та же, что и в метрике Шварцшильда на расстоянии $R$ от центра.

Спасибо, значит преемственность сильная, это радует.
А что получается в метрике Шварцильда? Я действительно не знаю.

[Munin]

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):

Однако, на определенной стадии эволюции, оболочка как целое отделяется от ядра и начинает постепенно расширяться в пространстве. Это, в отличие от истечения звездного ветра, "разовое" и довольно быстрое (порядка $10^4$ лет) явление, не сопровождающееся, однако, какими-то резкими изменениями в структуре ядра, в частности, взрывами.

Ничего себе!

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):

В принципе, один из них связан со звездным ветром

Вот, видимо, от этого я плясал. Это объекты типа Вольфа-Райе, я правильно понял? Их тоже описывают в терминах "звёздный ветер", хотя подчёркивают, что он сильный. Я думал, это просто количественное отличие, а не качественно другое понятие.

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):

А вот к взрыву сверхновой планетарные туманности совсем никакого отношения не имеют. Звезда, оставшаяся в центре (бывшее ядро) - это будущий белый карлик, нейтронизация которого (и, соответственно, вспышка в виде сверхновой) исключена - массы не хватит.

Ну а из чего тогда сверхновые вспыхивают? Из голубых гигантов? Сверхгигантов? Из тесных двойных only? (Я говорю про коллапсные сверхновые, а не SNe Ia.) В Wikipedia дана табличка http://en.wikipedia.org/wiki/Supernova#Core_collapse , где начальные массы звёзд-предшественников меняются в диапазоне $8\text{--}250 M_\odot.$

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):

В Галактике центральные звезды планетарных туманностей, кажется, больше $0.8~\mathfrak{M}_\odot$ не бывают, по другим галактикам можно найти до $\approx 1~\mathfrak{M}_\odot$, но это все равно меньше предела Чандрасекара.

Значит, туманности вокруг нейтронных звёзд (ну хотя бы Крабовидная) имеют какое-то другое название?

-- 01.04.2015 19:53:28 --

KVV в сообщении #998853 писал(а):

Почему? Если они вращаются вокруг общего центра масса и, теряя энергию с гравитационными волнами, приближаются друг к другу, то куда они денутся?

Потому что в момент слияния они должны иметь скорость по касательной $\sim c,$ чтобы получить отношение углового момента к массе порядка 1. А это, мне кажется, маловероятно. Может быть, там даже возникает множитель (порядка единицы, но меньше её), преодолеть который они не могут.

aa_dav в сообщении #998974 писал(а):

У Шварцильда сразу же сингулярность. А как насчёт Юпитера, два юпитера, 100 юпитеров, эннадцать юпитеров

У любого сферически-симметричного гравитирующего тела вне его - будет метрика Шварцшильда. Просто при движении к телу, поверхность тела возникает раньше, чем гравитационный радиус.

aa_dav в сообщении #998997 писал(а):

А что получается в метрике Шварцильда? Я действительно не знаю.

Метрика Шварцшильда такая простая, что её можно запомнить наизусть:

$$\begin{gathered}ds^2=\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)dt^2-\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)}dr^2-r^2\,d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2,\\r_g\equiv 2GM,\qquad c=1.\end{gathered}$$

Теперь достаточно подставить $dr=d\theta=d\varphi=0$ для неподвижной (в координатах Шварцшильда) точки, и получим:

$$\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{1-\dfrac{r_g}{r}}.$$

Вот это и будет коэффициент замедления времени, точный, а не приближённый. Но тут надо дополнительно быть в курсе, что такое координата $r$: это не такая координата, которую вы измерите рулеткой по радиусу, а такая, которая соответствует длине окружности (обёрнутой вокруг тела) $2\pi r.$ А расстояние по рулетке можно найти, подставив в ту же формулу метрики $dt=d\theta=d\varphi=0,$ и получится:

$$\dfrac{|ds|}{dr}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r_g}{r}}}.$$