Снова вопрос о падении в чёрную дыру

[Dmitriy40]

Хочу снова задать вопрос о соответствии времён внешнего наблюдателя и объекта, падающего в чёрную дыру. Но для начала чуть более простые (в понимании).
Найдём чёрную дыру приличных размеров чтобы пренебречь приливными силами, невращающуюся и без заряда. Она описывается только массой. Вокруг неё снаружи от горизонта существуют круговые орбиты. От удалённого наблюдателя в момент времени $t_0$ запустим к дыре объект с топливом и двигателями. Объект медленно (за счёт работы двигателей) приближается к дыре. Светим вслед ему фотонами заранее известной фиксированной частоты. Частота фотонов, принимаемых объектом, изменяется, по ней вычисляем фактор замедления времени. По достижению фактора замедления времени равного 1000, объект форсирует движки и перестаёт приближаться к дыре. Горизонт он ещё не пересёк. Оставляем объект на круговой орбите (ну или просто в точке где остановился) с фактором замедления времени в 1000 на год по часам объекта. По прошествии года по своим часам объект ещё больше форсирует движки и возвращается обратно к удалёному наблюдателю.
Вопрос, какое время будет на часах удалённого наблюдателя? Понятно что не год, и не ровно 1000 лет, а сколько? По идее должно быть 1000 лет плюс время двух полётов объекта (по часам удалённого наблюдателя). Так?

Второй вопрос, как будет изменяться принимаемая объектом частота излучения? Напомню, в точке излучения, у удалённого наблюдателя она фиксирована и постоянна во времени (по его часам). По идее по мере приближения к чёрной дыре частота будет возрастать, на круговой орбите будет оставаться постоянной (больше исходной), по мере удаления частота будет падать до исходной. Так?

Третий вопрос, если излучаемые фотоны модулируются каждую секунду (по часам удалённого наблюдателя, который их и излучает), то интервалы модуляции принимаего объектом около чёрной дыры излучения будут сокращаться, для чисел выше в ту же 1000 раз. Ну это даже очевидно. Но ведь это значит что объект за год своей "жизни" около чёрной дыры увидит происходящее во внешнем пространстве за время в 1000 лет. Так? Или нет и он увидит происходящее по мере опускания и подъема к/от чёрной дыры?!

И последний вопрос, описанная выше ситуация чем-то принципиально отличается от свободно падающего объекта к чёрной дыре до момента пересечения им горизонта (дальше не рассматриваем) для самого объекта? Фактор замедления времени будет нарастать, до бесконечности, секундные (или вековые, без разницы) интервалы во внешнем пространстве для падающего объекта будут восприниматься по своим часам всё более и более малыми и в пределе, при пересечении горизона событий, во внешней вселенной пройдёт (почти) плюс бесконечность по времени. Так?
Почему же тогда отрицается возможность для падающего в чёрную дыру объекта увидеть всё будущее внешней вселенной за конечное собственное время?

PS. Понимаю что вопрос неоднократно обсуждался, но удовлетворительного ответа так и не видел. А здесь специально построил вопросы так чтобы можно было ответить "1000 с небольшим лет. 1000+сколько-то. Да. Увеличится, будет постоянной, потом уменьшится до исходной. Да. Да. Да, и в процесее полётов, и на круговой орбите. Нет, не отличается. Да. А она и не отрицается.", причём можно даже ограничиться только выделенными жирным.

PPS. Чувствую где-то неверный логический переход, но где? Неужели принцпиальна остановка свободного падения до пересения горизонта и возврат обратно?

-- 30.03.2015, 02:07 --

Собственно интересует принципиальная возможность замены криозаморозки на отправку к чёрной дыре для "путешествия в далёкое будущее".
А также и вопрос спасения падающих в чёрную дыру объектов, сколько времени по внешним часам у нас есть чтобы успеть догнать и спасти объект. Не обязательно падающий свободно. Пока мне кажется что никуда спешить не обязательно, времени навалом, если и не плюс бесконечность (особенно для свободно падающего), то весьма и весьма прилично, тысячелетия.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Почему же тогда отрицается возможность для падающего в чёрную дыру объекта увидеть всё будущее внешней вселенной за конечное собственное время?

Диаграмма в координатах Крускала Вам поможет... Возможно.

[aa_dav]

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Почему же тогда отрицается возможность для падающего в чёрную дыру объекта увидеть всё будущее внешней вселенной за конечное собственное время?

Потому что он падает собственно. В этом есть большая разница.
Чтобы наглядно это понять воспользуемся эквивалетностью гравитации и ускорения СО.
Возьмём ракету у которой двигатели включены на постоянную мощность и она релятивистски постоянно ускоряется в лабораторной ИСО.
С точки зрения неИСО ракеты неИСОвость эквивалентна однородному гравитационному полю, пронизывающему всю вселенную "сверху вниз".
То что в ЛИСО свободно парит, двигается равномерно прямолинейно в неИСО ракеты - свободно падает в этом гравиполе.
Специфика равномерно ускоренного движения СТО состоит в том, что есть некоторое расстояние позади ракеты с которого испущенный луч света никогда ракеты не достигнет: topic93791.html это и есть горизонт событий "по СТО-шному".
Можно показать, что если с ракеты сбросят зонд так что он полетит равномерно-прямолинейно в ЛИСО горизонт событий ракеты будет приближаться к нему со скоростью света и в какой то момент за конечное собственно время он окажется под ним, т.е. не сможет более отправить сигнал на ракету. Самое замечательное тут в том, что сам зонд никакого горизонта не чувствует, для него момент попадания под горизонт это всего лишь такой момент времени когда двустороняя связь с ракетой оказывается невозможна.
Если зонд решит таки догнать ракету, то после попадания под горизонт он не сможет этого сделать никогда, но может это сделать до тех пор пока под горизонт не попал. При этом можно показать, что ему придётся развить собственное ускорение - мощность двигателей гораздо выше, чем у двигателей ракеты, тем выше, чем ближе горизонт и вплоть до бесконечности при стремлении расстояния к горизонту к нулю. Нетрудно заметить, что с точки зрения стремящегося к бесконечному ускорению зонда вся вселенная впереди неограниченно сжимается к нулевому расстоянию между объектами вдоль движения, а время в ней бесконечно "проматывается" вперед, что и соответствует "увидеть всю историю вселенной впереди себя". Это простой кинематический так сказать эффект СТО - в почти бесконечно ускоренном зонде время почти замерло, и вся вселенная пролетает мимо него за собственное время стремящееся к нулю.
Ничего подобного, разумеется, у свободно падающего зонда не будет, он просто "упадёт" под горизонт и ничего особенного не заметит.

[aa_dav]

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

А также и вопрос спасения падающих в чёрную дыру объектов, сколько времени по внешним часам у нас есть чтобы успеть догнать и спасти объект. Не обязательно падающий свободно. Пока мне кажется что никуда спешить не обязательно, времени навалом, если и не плюс бесконечность (особенно для свободно падающего), то весьма и весьма прилично, тысячелетия.

Вот это вот и оказывается в корне неверно если объект свободно падает. Можно и в системе отсчета ракеты вывести вполне конечное время по прошествии которого вернуть зонд оказывается физически невозможно. Хотя действительно в самой тривиальной системе координат которую можно попытаться вывести для неИСО ракеты будет всё выглядеть так, как будто зонд навечно "вмерзает" в пригоризонтное пространство. Но попытка дотянуться до него приводит к отказу - если отпустить свободно падающий второй зонд в попытке нагнать первый, то тот в свободном падении (когда мы видели что горизонт в ЛИСО исчезает) увидит, что пока мы догоним первый зонд, то мы уже окажемся вместе с ним под горизонтом и вернуться к ракете не сможем. И это уже факт разгоняйся ты к нему или нет - неважно, зонд гарантированно уходит под горизонт ракеты.
P.S.
Любопытно попробовать вывести собственно систему координат неИСО ракеты в которой горизонт имеет обозначенные для ЧД свойства - и увидеть почему и как там такое получается. Если интересно могу направить мысль в нужном направлении, но для этого надо хорошо понимать СТО.

[epros]

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Оставляем объект на круговой орбите (ну или просто в точке где остановился) с фактором замедления времени в 1000 на год по часам объекта.

На орбите не получится. Самая низкая круговая орбита -- на фотосфере, т.е. вдвое дальше, чем горизонт событий. А вот на двигателях зависнуть теоретически можно.

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Вопрос, какое время будет на часах удалённого наблюдателя? Понятно что не год, и не ровно 1000 лет, а сколько?

Зависит от того, как именно уходить и возвращаться.

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Но ведь это значит что объект за год своей "жизни" около чёрной дыры увидит происходящее во внешнем пространстве за время в 1000 лет. Так?

Да.

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Почему же тогда отрицается возможность для падающего в чёрную дыру объекта увидеть всё будущее внешней вселенной за конечное собственное время?

Последнее логически не следует из предыдущего.

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Неужели принцпиальна остановка свободного падения до пересения горизонта и возврат обратно?

Принципиально прохождение или непрохождение под горизонт событий. Если не прошли, то есть теоретическая возможность висеть над чёрной дырой бесконечно долго и наблюдать будущее окружающей Вселенной. Если прошли, то жизни наблюдателю осталось конечное время до падения в сингулярность.

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

Собственно интересует принципиальная возможность замены криозаморозки на отправку к чёрной дыре для "путешествия в далёкое будущее".

Непрактично. Зависание над горизонтом событий на работающих двигателях -- это огромные перегрузки.

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

А также и вопрос спасения падающих в чёрную дыру объектов, сколько времени по внешним часам у нас есть чтобы успеть догнать и спасти объект. Не обязательно падающий свободно. Пока мне кажется что никуда спешить не обязательно, времени навалом, если и не плюс бесконечность (особенно для свободно падающего), то весьма и весьма прилично, тысячелетия.

Времени на самом деле очень мало: порядка собственного времени свободного падения до горизонта, потом уже падающего наблюдателя не догоните, даже если будете двигаться со скоростью света.

[Dmitriy40]

Всем спасибо. Уже лёг спать и вдруг понял в чём моя ошибка была, именно в отличии свободного падения от зависания на двигателях или круговой орбите. Ну а вы ещё раз это подтвердили.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #997755 писал(а):

И последний вопрос, описанная выше ситуация чем-то принципиально отличается от свободно падающего объекта к чёрной дыре до момента пересечения им горизонта (дальше не рассматриваем) для самого объекта? Фактор замедления времени будет нарастать, до бесконечности

Вы забыли про то, что движущийся (падающий) наблюдатель также будет испытывать и эффект Доплера. За счёт него, он будет видеть приходящие к нему сигналы замедленными, по сравнению с другим наблюдателем, в той же точке, но зависшим неподвижно.

И это замедление компенсирует "нарастающий фактор замедления времени", так что в результате всё остаётся конечным.

Это другой способ рассказать результат, который понятней из диаграммы Эддингтона-Финкельштейна (Крускала-Секереша тоже можно использовать).

[Munin]

Предлагаю сделать такую прикидку:

1. Найдём, на каком радиусе будет находиться аппарат, зависший над чёрной дырой, и имеющий замедление времени в $k=1000$ раз по отношению к бесконечно удалённому.

$$d\tau^2=\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)dt^2-\ldots\quad\Rightarrow\quad r=\dfrac{r_g}{1-1/k^2}.$$

2. Найдём ускорение свободного падения в этой точке, и по уравнению Мещерского для фотонной ракеты (наиболее эффективный вариант), - отношение начальной к полезной массе ракеты при зависании на $\Delta\tau=1\text{ год}.$ Ускорение свободного падения находим из уравнения геодезической при $u^{\mu}=(1/\!\sqrt{g_{tt}},0,0,0)$:

$$\begin{gathered}\dfrac{d^2r}{ds^2}=-\Gamma^r_{\mu\nu}u^\mu u^\nu,\quad\Gamma^r_{tt}=\dfrac{r_g}{2r^2}\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)\\a=\dfrac{d^2\widetilde{r}}{ds^2}=-\sqrt{g_{rr}}\,\Gamma^r_{tt}g_{tt}^{-1}=-\dfrac{r_g}{2r^2}\dfrac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}=-\dfrac{k}{2r_g}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)^2,\end{gathered}$$

где $d\widetilde{r}$ - радиальная координата в местном масштабе;

$$\dfrac{m}{m_0}=e^{\textstyle -|a|\,\Delta t}=e^{\textstyle -\dfrac{k\,\Delta t}{2r_g}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)^2}.$$

Допустим, мы рассматриваем галактическую сверхмассивную чёрную дыру, для которой $r_g\sim 1\text{ а.е.}=8\text{ св. мин.}$ Тогда $k\,\Delta t/2r_g\approx 3\cdot 10^{7}.$ На этом можно уже остановиться: разница между полезной и начальной массой такой ракеты была бы намного больше, чем разница между массой протона и массой Вселенной.

Но из этого выражения можно прикинуть и в обратную сторону, более реалистично достижимые параметры при какой-нибудь реалистичной величине $m/m_0.$ Например, можно взять отношение массы человека к массе такой же сверхмассивной чёрной дыры $\sim 10^{36},$ взять логарифм, и получится $\approx 83.$ Вот в этих порядках и можно мечтать о величине $k\,(\Delta t/2r_g),$ где $\Delta t/2r_g$ означает отношение "времени зависания" ко времени, за которое свет пересекает поперечник чёрной дыры.

[Dmitriy40]

Печально.
Но остаётся надежда на круговые орбиты, пусть и с небольшим фактором замедления, но зато уж разогнаться там можно как угодно (меньше $c$ конечно же), за счёт скорости и "догнать" фактор замедления до нужного значения. Чёрная дыра при этом правда уже не очень-то нужна, просто удобнее чтобы не делать орбиту слишком уж огромной (по радиусу).

[KVV]

Гораздо удобнее, и кстати реалистичнее, керровские черные дыры с большим спином.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #998167 писал(а):

Но остаётся надежда на круговые орбиты, пусть и с небольшим фактором замедления, но зато уж разогнаться там можно как угодно (меньше $c$ конечно же)

Разгонитесь - вылетите наружу :-) Там есть предельная скорость.

Вообще, в Мизнере-Торне-Уилере написано про чёрные дыры вообще "всё, что вы хотели спросить".

-- 30.03.2015 22:42:11 --

KVV в сообщении #998208 писал(а):

Гораздо удобнее, и кстати реалистичнее, керровские черные дыры с большим спином.

Насчёт "реалистичнее" - это ещё вопрос.

[KVV]

Munin в сообщении #998239 писал(а):

Насчёт "реалистичнее" - это ещё вопрос.

Ну, во-первых, керровские черные дыры сами по себе гораздо реалистичнее шварцшильдовых. Последних, как считается, скорее всего вообще нет. Во-вторых, опять же как считается, если уж керровские черные дыры существуют, то обладание ими спина, близкого к единице экзотикой являться не будет. В таком случае можно спокойно расположиться на последней устойчивой орбите и наслаждаться большим $dt/d\tau$ без перегрузок. : )

[Munin]

KVV в сообщении #998274 писал(а):

Во-вторых, опять же как считается, если уж керровские черные дыры существуют, то обладание ими спина, близкого к единице экзотикой являться не будет.

Вот это как раз и вопрос.

[KVV]

У меня нет уверенного ответа на этот вопрос. Вот разве что процитирую:

Цитата:

Since angular momentum is ubiquitous in astrophysics, and since it is expected to be approximately conserved during collapse and black hole formation, astrophysical holes are expected to have significant values of $a/M$, from several tenths up to and approaching unity.

http://www.scholarpedia.org/article/Black_holes

[Munin]

KVV в сообщении #998551 писал(а):

Цитата:

and since it is expected to be approximately conserved during collapse and black hole formation

Очень-очень проблематичное заявление.

Собственно, при коллапсе сверхновой в сам релятивистский объект уходит далеко не вся масса звезды, а немалая часть распыляется вдребезги в пространстве (так возникает планетарная туманность). С угловым моментом тут скорей всего так: чтобы сколлапсировать, веществу надо от него избавиться, так что он попросту передаётся тому веществу, которое не коллапсирует. Хотя картина сложна и едва ли понята даже в общих чертах.

Какое-нибудь слияние двух чёрных дыр - тоже может произойти только при не слишком большом угловом моменте.