2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 12:59 


15/03/15
6
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, решить систему. Все задачи в "окрестности" прорешал, а эта не получается.

$$
\begin{cases}
x^2 - y^2 + 12y - 21 = 0 \\
2x^2 + y^2 + 2xy + x = 0
\end{cases}
$$
Пробовал сделать замену переменных: $u = x + y$, $v = x - y$
Получаю:
$$
\begin{cases}
uv + 12\frac{u - v}{2} - 21 = 0\\
(\frac{u+v}{2})^2 + u^2 + \frac{u+v}{2}=0
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
uv + 6(u - v) - 21 = 0\\
5u^2 + 2uv + v^2 + 2u + 2v = 0
\end{cases}
$$

Пробовал из первого уравнения выразить $v$ и подставить во второе, но, кажется, это неправильный путь.

Согласно ответу, решений не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Кому стало легче от этой замены переменных?
Два квадратных уравнения - это уравнение 4 степени, если не повезёт. Есть ли у Вас основания думать, что тут повезёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 13:50 


15/03/15
6
Я пытался еще получить что-либо хорошее, складывая уравнения, предварительно умножив на коэффициенты. Но ничего подходящего не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
Попробуйте с первого - это же гипербола, стало быть линейной заменой приведётся к $uv=\text{Const}$. Станет ли от этого второе легче, не проверял - при подстановке вся та же 4-я степень никуда не денется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 14:09 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
Оба исходных уравнения описывают некоторые кривые второго порядка. Их можно найти и попытаться, например, нарисовать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Коэффициенты, на которые надо умножить эти уравнения, чтобы при сложении получилось что-либо хорошее, вид имеют совершенно неприемлемый. Так что это правильно, что не нашли.
Но вот это
photon123 в сообщении #990590 писал(а):
Согласно ответу, решений не существует.
- это же совсем другое дело! Ну, смотрим. Первое уравнение - это что за кривая? А второе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 14:48 


15/03/15
6
Первая гипербола, вторая - эллипс. Предлагаете привести к каноническому виду?

В принципе, это задача из учебника для 9 класса матшкол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Раз известно, что решений нет, то можно попробовать получить уравнение-следствие в виде квадратного уравнения от одной из переменных с отрицательным дискриминантом, в котором участвует вторая переменная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 15:17 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
photon123 в сообщении #990645 писал(а):
Обе гиперболы.
Уверены? :wink:

photon123 в сообщении #990645 писал(а):
Предлагаете привести к каноническому виду?
В целом да, хотя полное приведение и не требуется, необходимые операции вполне может выполнить школьник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 15:29 
Аватара пользователя


12/03/11
602
Компьютерный вариант решения :mrgreen:
Базис Гребнера состоит из двух полиномов, в первом исключена $x$, а второй по $x$ линеен:
$5 y^4-100 y^3+791 y^2-2088 y+1743, -10 y^3+205 y^2+219 x-1356 y+2226$
Значит любой вещественный корень (и только он) первого полинома дает решение системы.
Cylindric Algebraic Decomposition сразу же дает, что полином не меняет знак на всей вещественной прямой.
Очевидно, что решений нет 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 15:33 


17/10/08
1059
В копилку методов решения. Есть такое направление как "Программирование в ограничениях". Одной из техник является "интервальный анализ", а также "распространение ограничений".

В нашем случае, второе уравнение нужно переписать так:
$(x+y)^2+(x+0.5)^2 -0.25=0$
Очевидно, что x будет в интервале [-1,0], а y - в интервале [-0.5,1.5].
Интервальная оценка левой части первого уравнения отрицательна - решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 16:49 


15/03/15
6
Pphantom
Вторая - эллипс.
Но, честно говоря, не вижу, как без методов аналитической геометрии привести второе уравнение к каноническому виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение15.03.2015, 17:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
photon123 в сообщении #990690 писал(а):
Вторая - эллипс.
Но, честно говоря, не вижу, как без методов аналитической геометрии привести второе уравнение к каноническому виду.
Там не нужно это приведение в чистом виде. По сути дела, то, что требуется, уже написал mserg двумя сообщениями выше - достаточно догадаться, что это эллипс, и получить ограничения на возможные диапазоны изменений $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение16.03.2015, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Я планировал раздувать эллипс, меняя его свободный параметр, потом найти, когда он начнёт касаться ветвей гиперболы (там должно быть как-то просто), и показать, что мы не доросли даже до первого из этих касаний, а значит, нет и пересечений.
Но это сложная фигня. Школьными методами - надо, конечно, как mserg говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система двух нелинейных уравнений
Сообщение16.03.2015, 21:15 


15/03/15
6
В принципе, можно в лоб решить. Но с громоздким приведением.
Сложить уравнения, выразить $y$. Получится: $y = \frac{21 - x - 3x^2}{2x + 12}$
Если подставить это выражение в первое уравнение и привести к общему знаменателю, то будет:
$$- \frac{5x^4 + 30x^3 + 271x^2 + 606x + 441}{4(x + 6)^2} = 0$$
$$
5x^2(x + 3)^2 + 226x^2 + 606x + 441 = 0
$$
Дискриминант $226x^2 + 606x + 441$ отрицательный, поэтому это уравнение в ноль не обращается, значит, решений нет.
Это, конечно, куда менее изящное решение, чем с проверкой ограничений.

Но меня смущает следующее. Может, это не аргумент, но все-таки.
Эта задача входит в номер из трех задач.
Вот они:
$$
\begin{cases}
|x| + |y| = 3\\
x^2 + y^2 = 5
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x + y + z = 0\\
xy + yz = -1\\
x^2 + y^2 + z^2 = 6
\end{cases}
$$

Какие-то они очень тривиальные по сравнению с этой.
В предыдущих номерах (это последний в параграфе) также акцент на том, чтобы найти какую-либо замену переменных типа той, что я привел в первом сообщении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group