Система двух нелинейных уравнений

[TR63]

photon123 в сообщении #990590 писал(а):

Пробовал сделать замену переменных: $u = x + y$, $v = x - y$
Получаю:

$$ \begin{cases} uv + 12\frac{u - v}{2} - 21 = 0\\ (\frac{u+v}{2})^2 + u^2 + \frac{u+v}{2}=0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} uv + 6(u - v) - 21 = 0\\ 5u^2 + 2uv + v^2 + 2u + 2v = 0 \end{cases} $$

Пробовал из первого уравнения выразить $v$ и подставить во второе, но, кажется, это неправильный путь.

Согласно ответу, решений не существует.

Если бы Вы решили относительно переменной ($v$), то получилось бы уравнение не столь удачное:

$$v^4+26v^3+366v^2+1698v+2457=0$$

Смогли бы Вы доказать, что оно не имеет действительных корней?

[svv]

Ещё идея. Мы воспринимаем как данность, что у нас имеется такой-то эллипс и такая-то гипербола, и именно их непересечение надо доказать.
WolframAlpha: plot x^2-y^2+12y-21=0; 2x^2+y^2+2xy+x=0

Но можно брать линейные комбинации обоих уравнений, получая равносильные системы с другими кривыми второго порядка, для которых доказать непересечение легче.

Например, возьмем разность уравнений вместо старого первого, а второе оставим как есть. Получим равносильную систему; но это уже два эллипса.
plot (2x^2+y^2+2xy+x)-(x^2-y^2+12y-21)=0; 2x^2+y^2+2xy+x=0; y=1.5 for x=-10 to 10, y=-10 to 10
А эти эллипсы легче сепарируются, поскольку один лежит строго выше прямой $y=1.5$, другой строго ниже.

Вопросом, как найти это без компьютера, я не задаюсь. Главное — результат.

[photon123]

TR63 в сообщении #991224 писал(а):

Если бы Вы решили относительно переменной ($v$), то получилось бы уравнение не столь удачное:

$$v^4+26v^3+366v^2+1698v+2457=0$$

Смогли бы Вы доказать, что оно не имеет действительных корней?

Технически да: взять производную, получается уравнение третьей степени. Найти корни (действительный в данном случае будет один), например, методом Кардано. Получаем минимум. Подставить в исходное уравнение и получить значение, большее ноля.

Но понятно, что выражения при таком методе получаются громоздкие.
К тому же задача из учебника 9 класса, им до производных еще далеко.
Поэтому я и сказал, что не такой путь подразумевается. К тому же, метод выражения через $y$ получается проще.

[svv]

Заменим первое уравнение на разность второго и первого уравнений, а второе оставим:
$\begin{cases}x^2 + 2y^2 + 2xy + x - 12y + 21 = 0 \\ 2x^2 + y^2 + 2xy + x = 0 \end{cases}$
Эта система равносильна исходной. Докажем, что она не имеет решений. Приведем каждое к сумме квадратов, так, чтобы в один из квадратов входил только $y$:
$\begin{cases}\left(x+y+\frac 1 2\right)^2+\left(y-\frac{13}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{86}}{2}\right)^2\\\left(2x+y+\frac 1 2\right)^2+\left(y-\frac 1 2\right)^2=\left(\frac {\sqrt 2} 2\right)^2\end{cases}$
Из первого уравнения $y\geqslant \frac {13}2-\frac{\sqrt{86}}{2}$, из второго $y\leqslant \frac 1 2+\frac{\sqrt 2}{2}$. Противоречие.

[TR63]

photon123 в сообщении #991260 писал(а):

$$v^4+26v^3+366v^2+1698v+2457=0$$

Технически да: взять производную, получается уравнение третьей степени. Найти корни (действительный в данном случае будет один), например, методом Кардано. Получаем минимум. Подставить в исходное уравнение и получить значение, большее ноля.

Конечно, это зубодробительное решение. Я имела в виду решение красивое. Такое, как у Вас получилось для переменной $(x)$. Поскольку Вы его не привели, то, думаю, осознали, в чём сложность такой красоты. Интересно, можно ли его решить красиво.