Об учебнике Мордковича

[Munin]

Kras в сообщении #987343 писал(а):

Конечно, ну и отсюда чуток проблем. А как такое рисовать? А какая вообще связь между прямой и такими функциями?

Рисовать - рациональным карандашом :-)

Связь между прямой и такими функциями - вообще-то такие функции (их графики) называются прямыми по определению. Просто они заданы в линейном пространстве над $\mathbb{Q}.$

[Kras]

Munin
Вы определяете прямую как множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $y=kx+b$?

[Red_Herring]

Рациональная плоскость это очень плохо. Надо быть сумасшедшим алгебраическим геометром, чтобы туда лезть: там например вдоль диагонали квадрата нельзя отложить его сторону. Евклид Вас бы не понял!

Но: аксиома Дедекинда в геометрии появилась во второй половине 19 века, как и аксиома Паша, и многие другие аксиомы геометрии. А до того без современных определений был достигнут феноменальный прогресс и в геометрии, и в анализе.

[arseniiv]

Kras в сообщении #987337 писал(а):

Но меня действительно заинтересовало, что такое $y=kx+b$ с $k,b\in\mathbb{Q}$. Видимо здесь предполагается, что вместо $x$ можно подставлять только рациональные числа.

Не обязательно. Решив недавно взяться за ум одну из задач на физическом подфоруме, в ответе получил, что точка может иметь координаты $y = cq^2x$, где $q\in\mathbb Q_{>0}$, а $c$ вот, правда, любое вещественное, и каждому $q=m/n,\;\operatorname{\text{НОД}}(m,n)=1$ соответствует движение со своим периодом $mnT_0$. Самое интересное, что в любой окрестности точки с конечным периодом найдутся точки, соответствующие апериодическому движению, а если выбирать точку равновероятно из какого-то куска плоскости конечной площади, с вероятностью 1 попадёшь в апериодическую!

Kras в сообщении #987659 писал(а):

Вы определяете прямую как множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $y=kx+b$?

Сами знаете, одно из направлений прямых таким образом упускается. Прямая — это линейное подпространство, натянутое на один ненулевой вектор. И хоть тут поле $\mathbb Q$, хоть $\mathbb R$…

-- Пн мар 09, 2015 05:22:58 --

Ой, я немного перерадовался. Не линейное, конечно, а аффинное вида $A + \langle\vec v\rangle$. Невелика разница, $\vec v$ всё равно должен быть ненулевым. $A$ — точка.

[Munin]

Kras в сообщении #987659 писал(а):

Munin
Вы определяете прямую как множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $y=kx+b$?

А чем вас не устраивает?

Я определяю прямую как одномерное подпространство линейного пространства. Так что, на плоскости да, получается одно уравнение $ax+by+c=0.$

Red_Herring в сообщении #987663 писал(а):

Рациональная плоскость это очень плохо. Надо быть сумасшедшим алгебраическим геометром, чтобы туда лезть: там например вдоль диагонали квадрата нельзя отложить его сторону. Евклид Вас бы не понял!

А зачем, простите, на диагонали квадрата откладывать его сторону? Странные у вас какие-то извращения, дедушка! :-) Пущай идёт вдоль стороны квадрата, как ей от роду и положено...

Это я к тому, что в пространстве вовсе не обязательно должна действовать группа вращений.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #987755 писал(а):

А зачем, простите, на диагонали квадрата откладывать его сторону? Странные у вас какие-то извращения, дедушка! Пущай идёт вдоль стороны квадрата, как ей от роду и положено...

Вьюноша, отказ от группы вращений на плоскости—это гнусное извращение. Как я Вам объяснил, Евклид (а там и многие другие) с Вами бы не согласились.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #987801 писал(а):

Вьюноша, отказ от группы вращений на плоскости—это гнусное извращение.

Ну, эт не я первый его придумал. Я его на первом курсе на линале услышал (а вообще, если честно, ещё раньше, когда нам в школе про аффинную геометрию рассказывали).

Таки сойдёмся на том, что каждому пусть будет дано то, что ему больше по вкусу.

Red_Herring в сообщении #987801 писал(а):

Как я Вам объяснил, Евклид (а там и многие другие) с Вами бы не согласились.

Хмм, интересно, а Аффин был современником Евклида или нет?.. Наверное, нет, он скорее римлянин. Вообще, римляне много геометрий понапридумывали: Проект, Симплекс...

[Red_Herring]

(Аффин)

Не Аффин, а Аффиноген. Но он был греком, у которого, однако постоянно кружилась голова и он решил создать геометрию без вращений.

[Kras]

Munin в сообщении #987755 писал(а):

получается одно уравнение $ax+by+c=0.$

Почему одно уравнение? Умножьте на что-нибудь ненулевое.

[Oleg Zubelevich]

мне нравится как Kras тролит

[Munin]

Kras в сообщении #988068 писал(а):

Почему одно уравнение?

Одно линейно независимое.

Можно, конечно, взять систему из $n$ уравнений, но всё равно ранга 1. И не вижу большого смысла.

[Kras]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #988095 писал(а):

мне нравится как Kras тролит

Интересно, почему тролит? Вы знаете, из нашей дискуссии возникла ещё одна, можете почитать, посмотреть. Меня всегда удивляло, что чем точнее задан вопрос, тем сильнее в нём пытаются найти какой-нибудь подвох. Может быть у меня дикие пробелы в образовании, но почему всё время нужно за мной что-то подозревать? Скажем, в той теме я нашёл про себя удивительные подробности:
1. Я начинал учить математику по википедии.
2. Я на самом деле понимаю что такое линейное подпространство и, невзирая на это, задаю вопрос.
3. читать теорию множеств, не зная, что такое линейное пространство — это гениальная затея редкой степени бредовости.
- это тоже про меня
С одной стороны от разговора была огромная польза, когда мне помогли разобраться Munin и Xaositect. С другой стороны на совершенно обычные вопросы реакция может быть такая, как у вас, или как у iifat, или как у Nemiroff.

Munin
Я конечно не могу понять те определения, которое дали arseniiv и вы, но думаю вряд ли их можно использовать в школе. Для школы видимо сгодится следующее: прямая - это множество точек плоскости равноудаленных от двух данных точек. Конечно надо требовать чтобы две данные точки не совпадали. Главное слово здесь - равноудаленных. Координаты можно вполне брать рациональными, а вот расстояния будут при этом действительными.

[Munin]

Kras в сообщении #988173 писал(а):

Munin
Я конечно не могу понять те определения, которое дали arseniiv и вы, но думаю вряд ли их можно использовать в школе.

Я думаю, что это зависит от ситуации (хотя вы проявили редкостное непонимание этого обстоятельства). Я, например, в школе читал аналитическую геометрию, и знал, что прямая - это геометрическое место точек, заданных на плоскости одним уравнением указанного вида. А в пространстве - двумя линейно независимыми линейными уравнениями от трёх переменных, имеющими общие решения, соответственно. Ну и обобщение на координатное пространство $n$ переменных - достаточно очевидно.

Kras в сообщении #988173 писал(а):

Для школы видимо сгодится следующее: прямая - это множество точек плоскости равноудаленных от двух данных точек.

Это довольно странное и надуманное определение. От него придётся очень долго идти к стандартным определениям. Стандартно, это не определение, а свойство прямой, и далеко не самое важное. Кроме того, оно гораздо хуже обобщается на другие случаи, за рамками школьной евклидовой геометрии: уже на аффинной плоскости расстояний попросту нет, и понятия равноудалённости тоже.

[Red_Herring]

Kras в сообщении #988173 писал(а):

прямая - это множество точек плоскости равноудаленных от двух данных точек.

А что такое "равноудаленные" точки? Для этого надо измерять расстояние (вдоль прямых линий, соединяющих эти точки). Поэтому скорее всего для школы годится "определение" прямая—это прямая. Равно как и точка—это точка. Кстати, аксиоматика Гильберта основана на прямых и точках как изначальных понятиях.

И при всеобщем падении уровня геометрических навыков школьников (я не говорю о крутых олимпиадниках, об обычных школьниках) вопросы "как определить" отнюдь не самые насущные. Впрочем, в связи с тем, что стереометрические задачи на олимпиадах крайне редки, даже у олимпиадников наблюдаются здесь серьезные пробелы. Хотя казалось бы, сейчас изучать стереометрию гораздо проще: CAD, 3D–models, VR

[Munin]

Kras
Вот вам упражнение, кстати.

Введём координатную плоскость $\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.$ А вот расстояние введём вот каким образом: $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\left|x_2-x_1\right|+\left|y_2-y_1\right|\geqslant 0.$ Это называется метрика $L^1,$ или "манхэттэнское расстояние" (вообще, метрика $L^p$ задаётся формулой $\rho=\sqrt[p]{\mathop{\smash[b]{\sum\limits_i}}\left|(x_i)_2-(x_i)_1\right|^p},$ в том числе и при $p=\infty$).

Найдите геометрические места точек, удовлетворяющих вашему определению, для различных взаимных расположений двух данных точек.