2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Факторизация сферы
Сообщение05.03.2015, 17:25 
Аватара пользователя


13/08/13
3058
Навеяно постом Munin
Munin в сообщении #907708 писал(а):
Не надо путать риманово пространство и пространство Римана. Это разные термины. Из-за их схожести, второй довольно неудачен, и практически вышел из употребления, но его можно найти, например, в Математической Энциклопедии 70-х годов издания. Сейчас пространство Римана называют эллиптическое пространство (а аналогично, пространство Лобачевского - гиперболическое пространство).

Поверхность сферы вдвое больше, чем пространство Римана. Пространство Римана можно рассматривать как поверхность полусферы, с отождествлёнными противоположными точками на экваторе. Или, как пространство сферы с отождествлёнными противоположными точками по всей сфере. Или, можно рассматривать его как пространство, роль точек которого выполняют прямые, проходящие через начало координат евклидового пространства, а роль прямых - плоскости, проходящие через него же (и так далее для более высоких размерностей). Получается довольно забавный зверёк. Например, на сфере любая петля может быть стянута в точку, а в пространстве Римана - нет, есть петли, которые "зацеплены" за это пространство, и не стягиваются. Это петли, которые (в первой модели) нечётное число раз проходят через экватор, или (во второй модели) проходят и через Северный, и через Южный полюс.

С алгебраической точки зрения, говорят, что пространство Римана - это сфера, поделённая на два (точнее, факторизованная по группе $\mathbb{Z}_2$). Существуют и другие факторизации сферы, в том числе конечные. Например, очень известна факторизация трёхмерной сферы, которая называется "сфера Пуанкаре" - это факторизация по группе 4-мерного правильного 120-гранника, которая образует выпуклый (неплоский) додекаэдр. Идею можно понять, если представить себе обычную двумерную сферу, и разметить её на правильные сферические пятиугольники, а потом представить себе, что только один из них - настоящий, а все остальные - отражения.

А если разметить на правильные сферические квадраты(те вписать куб)? Я так понимаю, оно не будет изотропным, тк сторона этого сферического квадрата не равна его диагонали). А вот как отождествлить стороны этих правильных сферических пятиугольников? Я думал, что сфера Римана это единственный способ факторизовать сферу( ну чтоб пространство было однородным и изотропным)

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение06.03.2015, 14:20 
Аватара пользователя


13/08/13
3058
Может это в математику перенести чтоли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение06.03.2015, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65079
Разумно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.03.2015, 19:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14518
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение06.03.2015, 22:28 
Аватара пользователя


13/08/13
3058
Короче я так понял никакая факторизация сфера кроме как пространство Римана невозможна?
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение06.03.2015, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5039
Впервые слышу, чтобы проективную плоскость называли пространством Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65079
g______d в сообщении #986707 писал(а):
Впервые слышу, чтобы проективную плоскость называли пространством Римана.

Она не плоскость, а эллиптическое пространство - топология та же, метрика другая (если вообще наделять проективную плоскость метрикой).

Название можно встретить в Математической Энциклопедии 70-х годов издания. А "эллиптическое пространство" - у Постникова в "Лекциях", например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 03:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5039
Munin в сообщении #986753 писал(а):
Она не плоскость, а эллиптическое пространство - топология та же, метрика другая (если вообще наделять проективную плоскость метрикой).


А на проективной плоскости какая метрика стандартная — разве не такая же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65079
Не уверен, что метрика на ней вообще есть...

Но если рассматривать проективную плоскость как евклидову + бесконечно удалённые точки + проективные преобразования, то разумно предложить использовать унаследованную евклидову метрику, а преобразования её не сохраняют. И не очень хорошо будет метрику менять на какую-то другую. Кажется, в проективной геометрии вводятся какие-то инвариантные величины, но не называются метрикой (хотя могут её аксиомам удовлетворять). Пойду посмотрю книги. (Мне было достаточно, что я знаком с эллиптической геометрией, а проективной никогда особо не интересовался. И вообще, во всех этих допотопных геометриях бывают странные терминологии.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65079
Прасолов, Тихомиров: вводятся координаты (необходимые для дефиниции, например, квадрик), не вводится метрики, вводится двойное отношение точек на прямой.
Постников (1 семестр): вводит арифметическое проективное пространство $\mathbb{K}\mathrm{P}^n$ над произвольным полем $\mathbb{K},$ и проективное пространство как произвольное множество, изоморфное ему. Метрики не вводится. И эллиптическое пространство вводится в 5 семестре (курс римановой геометрии).

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 15:10 
Аватара пользователя


11/08/11
997
Я, может, сейчас очень глупую аещь скажу, но есть же бесконечно удаленная точка. Которая преобразованиями переводится в обычные. А значит, о метрике говорить в принципе не можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Я тоже сначала такое хотел сказать — но ведь произвольные линейные преобразования тоже метрику не любят!

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
INGELRII в сообщении #986962 писал(а):
но есть же бесконечно удаленная точка.

Ну, в проективном пространстве она ничем не отличается от остальных. Но про метрику в проективном пространстве не слышала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 16:46 


13/12/05
3475
Любое многообразие метризуемо )

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Padawan в сообщении #986991 писал(а):
Любое многообразие метризуемо )
"Естественным" образом?
"Метризуемо" и "метризовано" -- несколько разные вещи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group