Не надо путать риманово пространство и пространство Римана. Это разные термины. Из-за их схожести, второй довольно неудачен, и практически вышел из употребления, но его можно найти, например, в Математической Энциклопедии 70-х годов издания. Сейчас пространство Римана называют эллиптическое пространство (а аналогично, пространство Лобачевского - гиперболическое пространство).
Поверхность сферы вдвое больше, чем пространство Римана. Пространство Римана можно рассматривать как поверхность полусферы, с отождествлёнными противоположными точками на экваторе. Или, как пространство сферы с отождествлёнными противоположными точками по всей сфере. Или, можно рассматривать его как пространство, роль точек которого выполняют прямые, проходящие через начало координат евклидового пространства, а роль прямых - плоскости, проходящие через него же (и так далее для более высоких размерностей). Получается довольно забавный зверёк. Например, на сфере любая петля может быть стянута в точку, а в пространстве Римана - нет, есть петли, которые "зацеплены" за это пространство, и не стягиваются. Это петли, которые (в первой модели) нечётное число раз проходят через экватор, или (во второй модели) проходят и через Северный, и через Южный полюс.
С алгебраической точки зрения, говорят, что пространство Римана - это сфера, поделённая на два (точнее, факторизованная по группе
). Существуют и другие факторизации сферы, в том числе конечные. Например, очень известна факторизация трёхмерной сферы, которая называется "сфера Пуанкаре" - это факторизация по группе 4-мерного правильного 120-гранника, которая образует выпуклый (неплоский) додекаэдр. Идею можно понять, если представить себе обычную двумерную сферу, и разметить её на правильные сферические пятиугольники, а потом представить себе, что только один из них - настоящий, а все остальные - отражения.
А если разметить на правильные сферические квадраты(те вписать куб)? Я так понимаю, оно не будет изотропным, тк сторона этого сферического квадрата не равна его диагонали). А вот как отождествлить стороны этих правильных сферических пятиугольников? Я думал, что сфера Римана это единственный способ факторизовать сферу( ну чтоб пространство было однородным и изотропным)
над произвольным полем 
и проективное пространство как произвольное множество, изоморфное ему. Метрики не вводится. И эллиптическое пространство вводится в 5 семестре (курс римановой геометрии).
