Факторизация сферы

[Padawan]

А есть естественная метрика на двумерной сфере?

[provincialka]

Ну, если мыслить ее вложенной в трехмерное пространство -- то можно ввести. А без этого, наверное, нет.

[Padawan]

Но проективное пространство тоже можно вложить в евклидово пространство. В четырёхмерное.

Вот такую метрику рассмотрим. Будем представлять проективную плоскость как множество всех в $\mathbb{R}^3$ прямых, проходящих через точку $O$. За расстояние примем угол между прямыми (который меньше 180 градусов).

[provincialka]

Ну, так можно. Просто как-то мне это не попадалось.

[Munin]

Padawan в сообщении #986997 писал(а):

А есть естественная метрика на двумерной сфере?

На сфере - да. На многообразиях, гомеоморфных сфере - не на всех (на римановых есть, причём разные).

Padawan в сообщении #987008 писал(а):

Вот такую метрику рассмотрим. Будем представлять проективную плоскость как множество всех в $\mathbb{R}^3$ прямых, проходящих через точку $O$. За расстояние примем угол между прямыми (который меньше 180 градусов).

На это уже был ответ:

provincialka в сообщении #986995 писал(а):

"Метризуемо" и "метризовано" -- несколько разные вещи.

Это действительно наиболее естественная метрика для любых проективных пространств, вот только она самим своим фактом превращает проективное пространство в эллиптическое :-)

[Oleg Zubelevich]

было бы естественно называть естественной ту метрику в $\mathbb{R}P^2$, которая инвариантна относительно проективных преобразований. С точностью до соответствующих факторизаций по крайней мере.

[Munin]

Тогда все проективные плоскости окажутся изометричны одному эллиптическому пространству - единичного радиуса. А у эллиптических пространств радиусы могут быть разными.

[Padawan]

Не знаю, что такое эллиптическое пространство, но поскольку проективным преобразованием любые две различные точки проективного пространства можно перевести в любые две другие различные точки, то метрика, инвариантная относительно всех таких преобразований может быть только дискретной

$$\rho (x,y)=\begin{cases} a,\, \; x\neq y\\ 0,\, x=y \end{cases}$$

[g______d]

Padawan в сообщении #987008 писал(а):

Но проективное пространство тоже можно вложить в евклидово пространство. В четырёхмерное.

Вот такую метрику рассмотрим. Будем представлять проективную плоскость как множество всех в $\mathbb{R}^3$ прямых, проходящих через точку $O$. За расстояние примем угол между прямыми (который меньше 180 градусов).

Ну вот я тоже думал, что на сфере есть стандартная риманова метрика, инвариантная относительно вращений. А при факторизации по действию $\mathbb Z/2$ получается стандартная метрика на проективном пространстве.

Munin в сообщении #986866 писал(а):

Но если рассматривать проективную плоскость как евклидову + бесконечно удалённые точки + проективные преобразования, то разумно предложить использовать унаследованную евклидову метрику, а преобразования её не сохраняют.

Не получится, там будет сингулярность в бесконечности. Да и вообще, неправильно иметь какие-то выделенные точки.

-------------------------------------------------------

Я всегда считал, что проективное пространство -- это многообразие всех прямых в $\mathbb R^n$, проходящих через нуль, или факторпространство сферы по $\mathbb Z/2$; между ними есть абсолютно очевидное отождествление. Словосочетание "эллиптическое пространство" -- либо древность, либо экзотика (к тому же термин и так сильно перегружен), либо моё отсутствие образования.

[provincialka]

В интернете про эллиптическое как-то глухо. Но по аналогии: есть аффинное пространство, а после введения метрики оно становится, скажем евклидовым. Но это же другой матем. объект. Также и проективное <-> эллиптическое. ИМХО.

[Munin]

provincialka в сообщении #987289 писал(а):

В интернете про эллиптическое как-то глухо.

Тут есть языковой нюанс ещё. В русской терминологии принято название "пространство Лобачевского", в англоязычной - "гиперболическое пространство". Так что "эллиптическое пространство" я бы тоже гуглил по-английски.

provincialka в сообщении #987289 писал(а):

Но по аналогии: есть аффинное пространство, а после введения метрики оно становится, скажем евклидовым. Но это же другой матем. объект. Также и проективное <-> эллиптическое.

У меня тоже сложилось такое впечатление.

g______d в сообщении #987272 писал(а):

Я всегда считал, что проективное пространство -- это многообразие всех прямых в $\mathbb R^n$, проходящих через нуль, или факторпространство сферы по $\mathbb Z/2$; между ними есть абсолютно очевидное отождествление. Словосочетание "эллиптическое пространство" -- либо древность, либо экзотика (к тому же термин и так сильно перегружен), либо моё отсутствие образования.

Ну что я могу поделать, не я придумывал терминологию. Лично я считаю, что всё, что вы говорите, абсолютно логично. Но терминология может быть нелогична: в ней бывают разные pecularities, в основном объясняемые историческими причинами.

g______d в сообщении #987272 писал(а):

Не получится, там будет сингулярность в бесконечности.

Да, это была сырая догадка, и литература её не подтвердила.

[g______d]

Munin в сообщении #987297 писал(а):

Ну что я могу поделать, не я придумывал терминологию. Лично я считаю, что всё, что вы говорите, абсолютно логично. Но терминология может быть нелогична: в ней бывают разные pecularities, в основном объясняемые историческими причинами.

Я не утверждаю, что такой терминологии в принципе не существует; Вы привели достаточно ссылок. Тем не менее, сейчас, по моему впечатлению, она (т. е. термин "эллиптическое пространство") просто не используется. Если геометру или топологу нужно будет на семинаре сказать что-то про вышеуказанное риманово многообразие, он скажет "$\mathbb{RP}^2$ со стандартной метрикой", а если кто-то захочет уточнения, то уточнит "индуцированной со сферы".

[Sicker]

Munin в сообщении #986046 писал(а):

Например, очень известна факторизация трёхмерной сферы, которая называется "сфера Пуанкаре" - это факторизация по группе 4-мерного правильного 120-гранника, которая образует выпуклый (неплоский) додекаэдр. Идею можно понять, если представить себе обычную двумерную сферу, и разметить её на правильные сферические пятиугольники, а потом представить себе, что только один из них - настоящий, а все остальные - отражения.

Кто-нибудь может объяснить, как такое возможно?

[Munin]

g______d
Ясно, спасибо за разъяснения. Остаётся, правда, ещё вопрос, верно ли это во всех (хотя бы главных) научных центрах нашей страны, и тем более повсеместно ли в мире. Но не буду требовать исследований на пустом месте :-)

И уж тем более не используется термин "пространство Римана".

И Sicker правильно напоминает, что изначально вопрос-то был о другом :-)

[Oleg Zubelevich]

У нас есть компактное многообразие $M$ (даже не важно сейчас, что это проективная плоскость) и группа его диффеоморфизмов $G$. Действие транзитивное. Фиксируем точку $x_0\in M$. Тогда $M$ канонически диффеоморфно $G/H_{x_0}$, где $H_{x_0}$ -- группа изотропии. Ну а на $G/H_{x_0}$ есть левоинвариантная метрика. Наверное это и есть "естественная" метрика для $M$.