2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 17:12 


13/12/05
3475
А есть естественная метрика на двумерной сфере?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Ну, если мыслить ее вложенной в трехмерное пространство -- то можно ввести. А без этого, наверное, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 17:41 


13/12/05
3475
Но проективное пространство тоже можно вложить в евклидово пространство. В четырёхмерное.

Вот такую метрику рассмотрим. Будем представлять проективную плоскость как множество всех в $\mathbb{R}^3$ прямых, проходящих через точку $O$. За расстояние примем угол между прямыми (который меньше 180 градусов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Ну, так можно. Просто как-то мне это не попадалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
Padawan в сообщении #986997 писал(а):
А есть естественная метрика на двумерной сфере?

На сфере - да. На многообразиях, гомеоморфных сфере - не на всех (на римановых есть, причём разные).

Padawan в сообщении #987008 писал(а):
Вот такую метрику рассмотрим. Будем представлять проективную плоскость как множество всех в $\mathbb{R}^3$ прямых, проходящих через точку $O$. За расстояние примем угол между прямыми (который меньше 180 градусов).

На это уже был ответ:
    provincialka в сообщении #986995 писал(а):
    "Метризуемо" и "метризовано" -- несколько разные вещи.
Это действительно наиболее естественная метрика для любых проективных пространств, вот только она самим своим фактом превращает проективное пространство в эллиптическое :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 19:20 


10/02/11
6786
было бы естественно называть естественной ту метрику в $\mathbb{R}P^2$, которая инвариантна относительно проективных преобразований. С точностью до соответствующих факторизаций по крайней мере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение07.03.2015, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
Тогда все проективные плоскости окажутся изометричны одному эллиптическому пространству - единичного радиуса. А у эллиптических пространств радиусы могут быть разными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 06:35 


13/12/05
3475
Не знаю, что такое эллиптическое пространство, но поскольку проективным преобразованием любые две различные точки проективного пространства можно перевести в любые две другие различные точки, то метрика, инвариантная относительно всех таких преобразований может быть только дискретной $$\rho (x,y)=\begin{cases}
a,\,  \; x\neq y\\
0,\, x=y
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 07:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Padawan в сообщении #987008 писал(а):
Но проективное пространство тоже можно вложить в евклидово пространство. В четырёхмерное.

Вот такую метрику рассмотрим. Будем представлять проективную плоскость как множество всех в $\mathbb{R}^3$ прямых, проходящих через точку $O$. За расстояние примем угол между прямыми (который меньше 180 градусов).


Ну вот я тоже думал, что на сфере есть стандартная риманова метрика, инвариантная относительно вращений. А при факторизации по действию $\mathbb Z/2$ получается стандартная метрика на проективном пространстве.

Munin в сообщении #986866 писал(а):
Но если рассматривать проективную плоскость как евклидову + бесконечно удалённые точки + проективные преобразования, то разумно предложить использовать унаследованную евклидову метрику, а преобразования её не сохраняют.


Не получится, там будет сингулярность в бесконечности. Да и вообще, неправильно иметь какие-то выделенные точки.

-------------------------------------------------------

Я всегда считал, что проективное пространство -- это многообразие всех прямых в $\mathbb R^n$, проходящих через нуль, или факторпространство сферы по $\mathbb Z/2$; между ними есть абсолютно очевидное отождествление. Словосочетание "эллиптическое пространство" -- либо древность, либо экзотика (к тому же термин и так сильно перегружен), либо моё отсутствие образования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
В интернете про эллиптическое как-то глухо. Но по аналогии: есть аффинное пространство, а после введения метрики оно становится, скажем евклидовым. Но это же другой матем. объект. Также и проективное <-> эллиптическое. ИМХО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
provincialka в сообщении #987289 писал(а):
В интернете про эллиптическое как-то глухо.

Тут есть языковой нюанс ещё. В русской терминологии принято название "пространство Лобачевского", в англоязычной - "гиперболическое пространство". Так что "эллиптическое пространство" я бы тоже гуглил по-английски.

provincialka в сообщении #987289 писал(а):
Но по аналогии: есть аффинное пространство, а после введения метрики оно становится, скажем евклидовым. Но это же другой матем. объект. Также и проективное <-> эллиптическое.

У меня тоже сложилось такое впечатление.

g______d в сообщении #987272 писал(а):
Я всегда считал, что проективное пространство -- это многообразие всех прямых в $\mathbb R^n$, проходящих через нуль, или факторпространство сферы по $\mathbb Z/2$; между ними есть абсолютно очевидное отождествление. Словосочетание "эллиптическое пространство" -- либо древность, либо экзотика (к тому же термин и так сильно перегружен), либо моё отсутствие образования.

Ну что я могу поделать, не я придумывал терминологию. Лично я считаю, что всё, что вы говорите, абсолютно логично. Но терминология может быть нелогична: в ней бывают разные pecularities, в основном объясняемые историческими причинами.

g______d в сообщении #987272 писал(а):
Не получится, там будет сингулярность в бесконечности.

Да, это была сырая догадка, и литература её не подтвердила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Munin в сообщении #987297 писал(а):
Ну что я могу поделать, не я придумывал терминологию. Лично я считаю, что всё, что вы говорите, абсолютно логично. Но терминология может быть нелогична: в ней бывают разные pecularities, в основном объясняемые историческими причинами.


Я не утверждаю, что такой терминологии в принципе не существует; Вы привели достаточно ссылок. Тем не менее, сейчас, по моему впечатлению, она (т. е. термин "эллиптическое пространство") просто не используется. Если геометру или топологу нужно будет на семинаре сказать что-то про вышеуказанное риманово многообразие, он скажет "$\mathbb{RP}^2$ со стандартной метрикой", а если кто-то захочет уточнения, то уточнит "индуцированной со сферы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 10:53 
Аватара пользователя


13/08/13
3047
Munin в сообщении #986046 писал(а):
Например, очень известна факторизация трёхмерной сферы, которая называется "сфера Пуанкаре" - это факторизация по группе 4-мерного правильного 120-гранника, которая образует выпуклый (неплоский) додекаэдр. Идею можно понять, если представить себе обычную двумерную сферу, и разметить её на правильные сферические пятиугольники, а потом представить себе, что только один из них - настоящий, а все остальные - отражения.

Кто-нибудь может объяснить, как такое возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
g______d
Ясно, спасибо за разъяснения. Остаётся, правда, ещё вопрос, верно ли это во всех (хотя бы главных) научных центрах нашей страны, и тем более повсеместно ли в мире. Но не буду требовать исследований на пустом месте :-)

И уж тем более не используется термин "пространство Римана".

И Sicker правильно напоминает, что изначально вопрос-то был о другом :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация сферы
Сообщение08.03.2015, 11:15 


10/02/11
6786
У нас есть компактное многообразие $M$ (даже не важно сейчас, что это проективная плоскость) и группа его диффеоморфизмов $G$. Действие транзитивное. Фиксируем точку $x_0\in M$. Тогда $M$ канонически диффеоморфно $G/H_{x_0}$, где $H_{x_0}$ -- группа изотропии. Ну а на $G/H_{x_0}$ есть левоинвариантная метрика. Наверное это и есть "естественная" метрика для $M$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group