2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 15:54 


30/10/12

87
Долго думал сегодня над этим уравнением, нашел вот такое решение:

$$x=\frac1\pi \int_0^{\pi } \arctg \left(\tg \left(\frac{t-\sin t+\frac{\pi }{2}}2\right)\right) \, dt+\frac{1}{\pi }$$

Проверьте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Конструкция "арктангенс тангенса чего-либо" напоминает мне оператор подёргивания в программировании:
Код:
--i++;

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 16:05 


30/10/12

87
ИСН в сообщении #985553 писал(а):
Конструкция "арктангенс тангенса чего-либо" напоминает мне оператор подёргивания в программировании:
Код:
--i++;

Знаете, как упростить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Знаю.
Так вот, если её убрать, станет очевидно, что интеграл выражается через элементарные функции. А искомый ответ - не выражается. Стало быть, это не он.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 16:08 


30/10/12

87
ИСН в сообщении #985556 писал(а):
Знаю.
Так вот, если её убрать, станет очевидно, что интеграл выражается через элементарные функции. А искомый ответ - не выражается. Стало быть, это не он.


Если убрать, то результат будет $\pi/2$. Можете убедиться, что результат изменится.
Попробуйте придумать способ упростить такой, чтобы значение выражения не менялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Сейчас.

-- менее минуты назад --

Короче, так. $\arctg\tg x$ равно либо $x$, либо $x-\pi$, либо ещё что-нибудь в этом роде, но нас остальные случаи не волнуют, здесь актуальны только эти два. Ну так вот, надо найти точку, в которой одно меняется на другое, и до неё заменить эту конструкцию на первое выражение, а после - на второе.

-- менее минуты назад --

Ну а точка эта будет там, где выражение под тангенсом делается равно $\pi\over2$, то есть...
Чёрт. Неужели правда.

-- менее минуты назад --

Ну, Anixx, Вы софист и обфускатор 75 левела! :appl: :appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 16:45 


30/10/12

87
Ну так можно это решение как-то проверить и/или упростить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ну, проверил, вроде верно.
А упростить - раскрыть $\arctg\tg\dots$, но такая форма будет включать указание точки, на которой у нас происходит перескок с одной ветки на другую, а эта точка сама и есть почти что ответ. Так что нет, проще всего написать "корень уравнения $\cos x=x$". И по символам короче выйдет, и понятнее.
Но это было красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 17:43 


30/10/12

87
Цитата:
Ну, проверил, вроде верно.


Численно или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 17:52 
Заслуженный участник


14/01/11
1696
$\frac{\pi}{2}-\int \limits_0^{\pi}\theta(t-\sin t-\frac{\pi}{2})dt$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Anixx в сообщении #985594 писал(а):
Численно или как?
И численно, и вручную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 19:01 


26/08/11
1676

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #985600 писал(а):
И численно, и вручную.
Вуувести какое-нибудь число в калкулятор, нажать на кнопку $\cos$ и уснуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Sender в сообщении #985598 писал(а):
$\frac{\pi}{2}-\int \limits_0^{\pi}\theta(t-\sin t-\frac{\pi}{2})dt$

Sender, с тем же успехом могли бы исходить из $\theta(\cos t-t)$, вышло бы ещё короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 21:51 


30/10/12

87
ИСН в сообщении #985600 писал(а):
Anixx в сообщении #985594 писал(а):
Численно или как?
И численно, и вручную.

Вручную - символически?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения cos x = x
Сообщение04.03.2015, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Что такое символически? Вручную - значит руками. Преобразовал туда-сюда, хопа, из одного получилось другое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group