Решение уравнения cos x = x

[Anixx]

Долго думал сегодня над этим уравнением, нашел вот такое решение:

$$x=\frac1\pi \int_0^{\pi } \arctg \left(\tg \left(\frac{t-\sin t+\frac{\pi }{2}}2\right)\right) \, dt+\frac{1}{\pi }$$

Проверьте, пожалуйста.

[ИСН]

Конструкция "арктангенс тангенса чего-либо" напоминает мне оператор подёргивания в программировании:

--i++;

[Anixx]

ИСН в сообщении #985553 писал(а):

Конструкция "арктангенс тангенса чего-либо" напоминает мне оператор подёргивания в программировании:

--i++;

Знаете, как упростить?

[ИСН]

Знаю.
Так вот, если её убрать, станет очевидно, что интеграл выражается через элементарные функции. А искомый ответ - не выражается. Стало быть, это не он.

[Anixx]

ИСН в сообщении #985556 писал(а):

Знаю.
Так вот, если её убрать, станет очевидно, что интеграл выражается через элементарные функции. А искомый ответ - не выражается. Стало быть, это не он.

Если убрать, то результат будет $\pi/2$. Можете убедиться, что результат изменится.
Попробуйте придумать способ упростить такой, чтобы значение выражения не менялось.

[ИСН]

Сейчас.

-- менее минуты назад --

Короче, так. $\arctg\tg x$ равно либо $x$, либо $x-\pi$, либо ещё что-нибудь в этом роде, но нас остальные случаи не волнуют, здесь актуальны только эти два. Ну так вот, надо найти точку, в которой одно меняется на другое, и до неё заменить эту конструкцию на первое выражение, а после - на второе.

-- менее минуты назад --

Ну а точка эта будет там, где выражение под тангенсом делается равно $\pi\over2$, то есть...
Чёрт. Неужели правда.

-- менее минуты назад --

Ну, Anixx, Вы софист и обфускатор 75 левела!

[Anixx]

Ну так можно это решение как-то проверить и/или упростить?

[ИСН]

Ну, проверил, вроде верно.
А упростить - раскрыть $\arctg\tg\dots$, но такая форма будет включать указание точки, на которой у нас происходит перескок с одной ветки на другую, а эта точка сама и есть почти что ответ. Так что нет, проще всего написать "корень уравнения $\cos x=x$". И по символам короче выйдет, и понятнее.
Но это было красиво.

[Anixx]

Цитата:

Ну, проверил, вроде верно.

Численно или как?

[Sender]

$\frac{\pi}{2}-\int \limits_0^{\pi}\theta(t-\sin t-\frac{\pi}{2})dt$

[ИСН]

Anixx в сообщении #985594 писал(а):

Численно или как?

И численно, и вручную.

[Shadow]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #985600 писал(а):

И численно, и вручную.

Вуувести какое-нибудь число в калкулятор, нажать на кнопку $\cos$ и уснуть.

[ИСН]

Sender в сообщении #985598 писал(а):

$\frac{\pi}{2}-\int \limits_0^{\pi}\theta(t-\sin t-\frac{\pi}{2})dt$

Sender, с тем же успехом могли бы исходить из $\theta(\cos t-t)$, вышло бы ещё короче.

[Anixx]

ИСН в сообщении #985600 писал(а):

Anixx в сообщении #985594 писал(а):

Численно или как?

И численно, и вручную.

Вручную - символически?

[ИСН]

Что такое символически? Вручную - значит руками. Преобразовал туда-сюда, хопа, из одного получилось другое.