2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение23.02.2015, 21:07 


12/09/14
3
Задана последовательность: $X_{n+1} = \frac{2}{X_n + X_{n-1}}$
Доказать, что при любых $X_1 > 0$ и $X_2 > 0$ последовательность имеет предел и найти его.

Понятно, что если предел $\lim\limits_{n \to \infty}{X_n} = a$ существует, то $\lim\limits_{n \to \infty}{X_{n+1}}= \frac{1}{a} = a$, откуда $a=1$. т.е. если предел существует, то он равен единице.
Подскажите, пожалуйста, с какой стороны поглядеть на последовательность, что бы стало понятно как доказать существование предела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение23.02.2015, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Обычно пытаются доказать монотонность и ограниченность. Иногда только для подпоследовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение23.02.2015, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
ex-math
Значения возрастают/убывают довольно прихотливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Из этого что-то должно получиться

$t_n=X_n + \frac{1}{X_n}$

$2 \le t_{n+1} \le \frac12 (t_n + t_{n-1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 17:26 
Заслуженный участник


05/08/14
1117
$X=1$ - неподвижная точка, докажите, что она устойчивая ("производная" (собственые значения линеаризованной системы) правой части (после некоторых преобразований) в ней должна быть $<1$ по модулю.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Неподвижная точка чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 17:36 
Заслуженный участник


05/08/14
1117
Динамической системы, заданной уравнением. (на самом деле точка будет $(1,1)$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Которая зависит от двух этих, поэтому производная - не просто так число.
Ага, теперь лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 18:06 
Заслуженный участник


05/08/14
1117
ИСН в сообщении #981959 писал(а):
поэтому производная - не просто так число

Матрица Якоби - тоже производная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Да, разумеется. У Вас первоначально было "производная<1" без пояснений, потому я и влез уточнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
dsge, ИСН
Но это же будет локальная устойчивость, при достаточно близких к единице начальных данных, разве нет?

-- 24.02.2015, 20:18 --

TOTAL
Не получается, этого неравенства мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 22:24 
Заслуженный участник


05/08/14
1117
ex-math в сообщении #982055 писал(а):
Но это же будет локальная устойчивость, при достаточно близких к единице начальных данных, разве нет?

Периодических решений или других предельных множеств быть не может, поскольку $z_n=\frac{x_{n}}{x_{n-1}}$ стремится монотонно к единице.
На бесконечность уходить, очевидно, тоже не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Что такое $y_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
ex-math в сообщении #982055 писал(а):
Но это же будет локальная устойчивость

Ах да, надо же на всей. Ну тогда не производные надо смотреть, а конечные разности, причём не в обычной метрике (в обычной-то они пляшут), а в какой-то такой, как у TOTAL.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение24.02.2015, 22:39 
Заслуженный участник


05/08/14
1117
ex-math в сообщении #982124 писал(а):
Что такое $y_n$?

Sorry, $y_n=x_n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group