Предел рекуррентно заданной последовательности

[Righost]

Задана последовательность: $X_{n+1} = \frac{2}{X_n + X_{n-1}}$
Доказать, что при любых $X_1 > 0$ и $X_2 > 0$ последовательность имеет предел и найти его.

Понятно, что если предел $\lim\limits_{n \to \infty}{X_n} = a$ существует, то $\lim\limits_{n \to \infty}{X_{n+1}}= \frac{1}{a} = a$, откуда $a=1$. т.е. если предел существует, то он равен единице.
Подскажите, пожалуйста, с какой стороны поглядеть на последовательность, что бы стало понятно как доказать существование предела.

[ex-math]

Обычно пытаются доказать монотонность и ограниченность. Иногда только для подпоследовательности.

[provincialka]

ex-math
Значения возрастают/убывают довольно прихотливо.

[TOTAL]

Из этого что-то должно получиться

$t_n=X_n + \frac{1}{X_n}$

$2 \le t_{n+1} \le \frac12 (t_n + t_{n-1})$

[dsge]

$X=1$ - неподвижная точка, докажите, что она устойчивая ("производная" (собственые значения линеаризованной системы) правой части (после некоторых преобразований) в ней должна быть $<1$ по модулю.)

[ИСН]

Неподвижная точка чего?

[dsge]

Динамической системы, заданной уравнением. (на самом деле точка будет $(1,1)$)

[ИСН]

Которая зависит от двух этих, поэтому производная - не просто так число.
Ага, теперь лучше.

[dsge]

ИСН в сообщении #981959 писал(а):

поэтому производная - не просто так число

Матрица Якоби - тоже производная.

[ИСН]

Да, разумеется. У Вас первоначально было "производная<1" без пояснений, потому я и влез уточнить.

[ex-math]

dsge, ИСН
Но это же будет локальная устойчивость, при достаточно близких к единице начальных данных, разве нет?

-- 24.02.2015, 20:18 --

TOTAL
Не получается, этого неравенства мало.

[dsge]

ex-math в сообщении #982055 писал(а):

Но это же будет локальная устойчивость, при достаточно близких к единице начальных данных, разве нет?

Периодических решений или других предельных множеств быть не может, поскольку $z_n=\frac{x_{n}}{x_{n-1}}$ стремится монотонно к единице.
На бесконечность уходить, очевидно, тоже не может.

[ex-math]

Что такое $y_n$?

[ИСН]

ex-math в сообщении #982055 писал(а):

Но это же будет локальная устойчивость

Ах да, надо же на всей. Ну тогда не производные надо смотреть, а конечные разности, причём не в обычной метрике (в обычной-то они пляшут), а в какой-то такой, как у TOTAL.

[dsge]

ex-math в сообщении #982124 писал(а):

Что такое $y_n$?

Sorry, $y_n=x_n$.