2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 00:32 
Заслуженный участник


05/08/14
1301
dsge в сообщении #982121 писал(а):
периодических решений или других предельных множеств быть не может, поскольку $z_n=\frac{x_{n}}{x_{n-1}}$ стремится монотонно к единице.

То, что на биссектрисе не может быть других предельных множеств - это почти очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 05:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
ex-math в сообщении #982055 писал(а):
TOTAL
Не получается, этого неравенства мало.


$t_n=X_n + \frac{1}{X_n}$

$2 \le t_{n+1} = \frac12 (t_n + t_{n-1}) - \frac{(X_{n}-X_{n-1})^2}{2X_{n}X_{n-1}(X_{n}+X_{n-1})}$

Почему мало? Последовательность $t_n$ сходится, поэтому последовательность $X_n$ сходится (а не превращается в $X_{n+1}=X_n^{-1} \ne 1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
TOTAL
А как Вы доказываете сходимость $t_n $ из оценки члена средним арифметических двух предыдущих?
Я вижу только вариант проитерировать это неравенство, получив что-то типа $t_{n+k}<(1-2^{-k})t_n+2^{-k}t_{n-1}$. Тогда если последовательность ограничена сверху, получается своего рода "отсроченная монотонность" и можно применить стандартное доказательство через точную нижнюю грань. Может, можно как-то проще и изящнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 10:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Что сходится, это ладно; откуда следует, что сходится к 1 (в терминах $t$ - к 2)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
ex-math в сообщении #982279 писал(а):
TOTAL
А как Вы доказываете сходимость $t_n $ из оценки члена средним арифметических двух предыдущих?
Я вижу только вариант проитерировать это неравенство, получив что-то типа $t_{n+k}<(1-2^{-k})t_n+2^{-k}t_{n-1}$. Тогда если последовательность ограничена сверху, получается своего рода "отсроченная монотонность" и можно применить стандартное доказательство через точную нижнюю грань. Может, можно как-то проще и изящнее?

Последовательность $M_n=\max\{t_{n}, t_{n-1}\}$ монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому сходится. Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему). Поэтому $X_n $ тоже сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 11:20 
Заслуженный участник


05/08/14
1301
TOTAL в сообщении #982285 писал(а):
Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

$t_1=a, t_2=a, t_n=a, n>2$, где $a$ - любое положительное число.
Мои предположения выше не совсем точны. К тому же собственные числа лианеаризации в т. $(1,1)$ лежат на единичной окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
dsge в сообщении #982311 писал(а):
TOTAL в сообщении #982285 писал(а):
Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).
$t_1=a, t_2=a, t_n=a, n>2$, где $a$ - любое положительное число.

Что может быть, только если $X_1=X_2=X_3= \cdots$, т.к.
$2 \le t_{n+1} = \frac12 (t_n + t_{n-1}) - \frac{(X_{n}-X_{n-1})^2}{2X_{n}X_{n-1}(X_{n}+X_{n-1})}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение25.02.2015, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
TOTAL
Спасибо. Очень красиво.
А я еще и проврался в своем неравенстве :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение26.02.2015, 13:37 
Заслуженный участник


05/08/14
1301
ex-math в сообщении #982386 писал(а):
TOTAL
Спасибо. Очень красиво.

Да. $\frac12 (t_n + t_{n-1})$ по сути, есть функция Ляпунова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение27.02.2015, 08:03 


13/12/05
3475
TOTAL в сообщении #982285 писал(а):
Последовательность $M_n=\max\{t_{n}, t_{n-1}\}$ монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому сходится. Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

А почему $t_n$ тоже сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение27.02.2015, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4624
Нов-ск
Padawan в сообщении #983259 писал(а):
TOTAL в сообщении #982285 писал(а):
Последовательность $M_n=\max\{t_{n}, t_{n-1}\}$ монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому сходится. Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

А почему $t_n$ тоже сходится?

Если $M_n$ сходится (сверху) к $M,$ то $2M- M_n \le t_n \le  M_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение27.02.2015, 11:49 
Заслуженный участник


05/08/14
1301
dsge в сообщении #982837 писал(а):
ex-math в сообщении #982386 писал(а):
TOTAL
Спасибо. Очень красиво.

Да. $\frac12 (t_n + t_{n-1})$ по сути, есть функция Ляпунова.

Точнее, $t_n + \frac12 t_{n-1}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group