Есть ли пересечения графиков функций?

[Don-Don]

Мне кажется, что нет, но нужно доказать это. Как это можно сделать?

$f(x)=bx$, $g(x)=\log_bx$. При $b>1$

Можно ли просто сказать ,что линейная функция растет быстрее логарифмической?

Но как это показать? Сравнить скорости роста (производные)?

$f'(x)=k$, $g'(x)=\dfrac{1}{x\ln b}$

По сути нужно показать, что $k>\dfrac{1}{x\ln b}$, то есть, что $x>\dfrac{k}{\ln k}$.

Можно ли без Лопиталя тут обойтись? Есть ли тут принципиально другой поход, так как этот (на мой взгляд), не претендует на оптимальный.

[ИСН]

- Поехали удить слонов.
- Что-что делать со слонами, простите?
- Удить.
- Это как же это?
- Лопиталем.

[demolishka]

Don-Don в сообщении #977766 писал(а):

$f(x)=bx$

Don-Don в сообщении #977766 писал(а):

$f'(x)=k$

А причем здесь правило Лопиталя, если не секрет?

[Don-Don]

Это Если предел на бесконечно сти искать

[nnosipov]

Don-Don в сообщении #977766 писал(а):

Мне кажется, что нет, но нужно доказать это. Как это можно сделать?

$f(x)=bx$, $g(x)=\log_bx$. При $b>1$

Можно ли просто сказать ,что линейная функция растет быстрее логарифмической?

Ясное дело, что $f(x)$ победит $g(x)$ при больших $x$. Но при маленьких-то $x$ интрига сохраняется.

[Don-Don]

А как при маленьких проверить?

[nnosipov]

Что именно проверить?

[Don-Don]

Есть ли пересечения

[ИСН]

А руками. Нарисовать оба графика при каком-нибудь небольшом $b$, э?

[Don-Don]

а ведь возможно найдутся $b>1$, такие, что будет пересечения

[ИСН]

Отож!

[Brukvalub]

Точка минимума разности функций найдена. Осталось определить знак разности в этой точке.

[Don-Don]

Мы же не можем построить графики для каждого бэ, потому реально ли аналитиЧеСки?

[ИСН]

Аналитически что?

[Don-Don]

Brukvalub в сообщении #977826 писал(а):

Точка минимума разности функций найдена. Осталось определить знак разности в этой точке.

$f(x)=bx-\log_bx$, тогда $f'(x)=0$ при $x=\dfrac{b}{\ln b}$

$f\left(\dfrac{b}{\ln b}\right)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Но теперь не очевидно -- как узнать знак этой штуки? $h(b)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Понимаю, что нужно показать, что $h(b)>0$, тогда все что нужно доказано.

При $b\ge e$ все очевидно теперь, но при $1<b<e$ все еще не ясно -- как оценивать.

-- 14.02.2015, 02:39 --

ИСН в сообщении #977829 писал(а):

Аналитически что?

Аналитически имел ввиду, что неграфический способ решения, в данном контексте.