2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 08:01 
Заморожен


20/12/10
5623
Don-Don в сообщении #978071 писал(а):
$f(x)=bx-\log_bx$, тогда $f'(x)=0$ при $x=\dfrac{b}{\ln b}$

$f\left(\dfrac{b}{\ln b}\right)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Но теперь не очевидно -- как узнать знак этой штуки? $h(b)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Понимаю, что нужно показать, что $h(b)>0$, тогда все что нужно доказано.

При $b\ge e$ все очевидно теперь, но при $1<b<e$ все еще не ясно -- как оценивать.
Так не надо делать. Запишите исходное уравнение в виде
$$
b\ln{b}=\frac{\ln{x}}{x},
$$
затем обозначьте $c=b\ln{b}$ и выясните, при каких $c$ будут корни (и сколько именно их будет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Don-Don в сообщении #978071 писал(а):
Аналитически имел ввиду, что неграфический способ решения, в данном контексте.
Решения чего? Так бывает: отогнал муху от варенья, погнался за ней, выскочил в окно, залез на берёзу, мимо шли санитары... Вспомните, что Вы изначально хотели сделать? Это важно. Что? Не решить, нет. Решить не надо и нельзя. Вы хотели ответить на какой-то другой вопрос. Возможно, на тот, который вынесен в заголовок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:00 


04/03/14
176
nnosipov в сообщении #978133 писал(а):
$c=b\ln{b}$[/math] и выясните, при каких $c$ будут корни (и сколько именно их будет).

$c(x)=\frac{ln x}x$

$c'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$x=e$ -- точка максимума.

$c(e)=\dfrac{1}{e}$ -- наибольшее значение функции. Значит при $c=1/e$ будет один корень. При $0<c<e^{-1}$ будет два корня, так как $c=0$ горизонтальная асимпотота. При $c\le 0$ будет 1 корень. При $c>\frac{1}{e}$ не будет корней.

Спасибо. Но а как дальше? Нужно перейти как-то к $b$, но там произведение преобразовать не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:02 
Заморожен


20/12/10
5623
Don-Don в сообщении #978289 писал(а):
Но а как дальше? Нужно перейти как-то к $b$, но там произведение преобразовать не получается.
А никак. Ответ в терминах $b$ выражается только в специальных функциях (функция Ламберта в данном случае). Ничего, бывает. Решайте другие задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:08 


04/03/14
176
nnosipov в сообщении #978292 писал(а):
Don-Don в сообщении #978289 писал(а):
Но а как дальше? Нужно перейти как-то к $b$, но там произведение преобразовать не получается.
А никак. Ответ в терминах $b$ выражается только в специальных функциях (функция Ламберта в данном случае). Ничего, бывает. Решайте другие задачи.

То есть пересечений не будет, но обосновать это крайне сложно? Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Скажите, пожалуйста, чему примерно будет численно равно $f(x)=bx-\log_bx$ при $b=\sqrt[4]2,\;x=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:14 


04/03/14
176
при $b=1,1$ есть пересечения, но при $b=2$ нет пересечений. Но начиная с какого $b$ будут пересечения. Когда прямая будет касательной, по идее. Но через касательную не получилось найти...

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:14 
Заморожен


20/12/10
5623
Don-Don в сообщении #978294 писал(а):
То есть пересечений не будет, но обосновать это крайне сложно? Верно?
Как же не будет? Вы же только что сами написали, сколько их будет и когда. Только в терминах параметра $c$ (который, кстати, монотонно зависит от исходного параметра $b$). Трудности (не принципиальные) возникнут только при переводе ответа с одного языка на другой.

-- Сб фев 14, 2015 21:19:16 --

Don-Don в сообщении #978300 писал(а):
Но начиная с какого $b$ будут пересечения. Когда прямая будет касательной, по идее.
Правильно. Для отыскания этого критического значения $b$ надо решить уравнение (какое? составьте его). Но корень этого уравнения можно найти только приближённо или с помощью спецфункций. То есть "школьного" выражения для него не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:20 


04/03/14
176
ИСН в сообщении #978297 писал(а):
Скажите, пожалуйста, чему примерно будет численно равно $f(x)=bx-\log_bx$ при $b=\sqrt[4]2,\;x=2$.

$y=-1,62$

-- 14.02.2015, 18:21 --

А, теперь все ясно, спасибо! $e\cdot b\ln{b}=1$. Вот такое уравнение. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:35 
Заморожен


20/12/10
5623
Don-Don в сообщении #978303 писал(а):
Верно?
Да, верно. Его корень приближённо равен $1{,}32$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Don-Don в сообщении #978303 писал(а):
ИСН в сообщении #978297 писал(а):
Скажите, пожалуйста, чему примерно будет численно равно $f(x)=bx-\log_bx$ при $b=\sqrt[4]2,\;x=2$.

$y=-1,62$

Это я плавно подводил к мысли, что пересечений не "не будет". Но Вы это уже вспомнили и так. Ну ОК.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 17:48 


04/03/14
176
Спасибо большое, разобрался!

P.S. http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... +and+x%3D2

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group