2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:06 
Мне кажется, что нет, но нужно доказать это. Как это можно сделать?

$f(x)=bx$, $g(x)=\log_bx$. При $b>1$

Можно ли просто сказать ,что линейная функция растет быстрее логарифмической?

Но как это показать? Сравнить скорости роста (производные)?

$f'(x)=k$, $g'(x)=\dfrac{1}{x\ln b}$

По сути нужно показать, что $k>\dfrac{1}{x\ln b}$, то есть, что $x>\dfrac{k}{\ln k}$.

Можно ли без Лопиталя тут обойтись? Есть ли тут принципиально другой поход, так как этот (на мой взгляд), не претендует на оптимальный.

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:39 
Аватара пользователя
- Поехали удить слонов.
- Что-что делать со слонами, простите?
- Удить.
- Это как же это?
- Лопиталем.

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:42 
Аватара пользователя
Don-Don в сообщении #977766 писал(а):
$f(x)=bx$

Don-Don в сообщении #977766 писал(а):
$f'(x)=k$


А причем здесь правило Лопиталя, если не секрет?

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:45 
Это Если предел на бесконечно сти искать

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:47 
Don-Don в сообщении #977766 писал(а):
Мне кажется, что нет, но нужно доказать это. Как это можно сделать?

$f(x)=bx$, $g(x)=\log_bx$. При $b>1$

Можно ли просто сказать ,что линейная функция растет быстрее логарифмической?
Ясное дело, что $f(x)$ победит $g(x)$ при больших $x$. Но при маленьких-то $x$ интрига сохраняется.

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:48 
А как при маленьких проверить?

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:51 
Что именно проверить?

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:52 
Есть ли пересечения

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:53 
Аватара пользователя
А руками. Нарисовать оба графика при каком-нибудь небольшом $b$, э?

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:56 
а ведь возможно найдутся $b>1$, такие, что будет пересечения

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:57 
Аватара пользователя
Отож! :!:

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:58 
Аватара пользователя
Точка минимума разности функций найдена. Осталось определить знак разности в этой точке.

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:59 
Мы же не можем построить графики для каждого бэ, потому реально ли аналитиЧеСки?

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение13.02.2015, 17:59 
Аватара пользователя
Аналитически что?

 
 
 
 Re: Есть ли пересечения графиков функций?
Сообщение14.02.2015, 01:38 
Brukvalub в сообщении #977826 писал(а):
Точка минимума разности функций найдена. Осталось определить знак разности в этой точке.


$f(x)=bx-\log_bx$, тогда $f'(x)=0$ при $x=\dfrac{b}{\ln b}$

$f\left(\dfrac{b}{\ln b}\right)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Но теперь не очевидно -- как узнать знак этой штуки? $h(b)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Понимаю, что нужно показать, что $h(b)>0$, тогда все что нужно доказано.

При $b\ge e$ все очевидно теперь, но при $1<b<e$ все еще не ясно -- как оценивать.

-- 14.02.2015, 02:39 --

ИСН в сообщении #977829 писал(а):
Аналитически что?

Аналитически имел ввиду, что неграфический способ решения, в данном контексте.

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group