Задача из С1

[Munin]

А вы не торопитесь возводить в квадрат. Вы посмотрите внимательно на левую часть. Рассмотрите её как $-(\sqrt{2}\cos^2 x+1^2).$ Что вы можете сказать о её знаке? Можно ли сразу выбрать конкретный знак у квадратного корня в правой части?

[Atom001]

Munin в сообщении #977762 писал(а):

Рассмотрите её как $-(\sqrt{2}\cos^2 x+1^2).$

Вы имели ввиду $-(2\cos^2 x+1^2)$?

Munin в сообщении #977762 писал(а):

Что вы можете сказать о её знаке?

Так как в скобках находится сумма точно положительных чисел, то левая часть точно отрицательна.

Munin в сообщении #977762 писал(а):

Можно ли сразу выбрать конкретный знак у квадратного корня в правой части?

Значит, перед корнем должен стоять минус, так как корень всегда неотрицательный.

[Otta]

Все на самом деле много проще.
Atom001, сделайте, что Вас просили, пожалста:

Cash в сообщении #977625 писал(а):

Лучше здесь остановиться и немного подумать.
$-2\cos^2{x}-1=\sin{5x}$

Только оставьте синус в покое.

[Munin]

Atom001 в сообщении #977768 писал(а):

Вы имели ввиду $-(2\cos^2 x+1^2)$?

Да, даже $-(\sqrt{2}^2\cos^2 x+1^2).$ Простите за опечатку.

[Atom001]

Otta в сообщении #977774 писал(а):

Atom001, сделайте, что Вас просили, пожалста:

Перенесу $-1$ вправо. Тогда $-2\cos^2{x}=1+\sin{5x}$. Но левая часть точна отрицательна или равна нулю, следовательно правая тоже. Значит, $1+\sin{5x}\leqslant 0 \Rightarrow \sin{5x}\leqslant -1$, но $-1 \leqslant\sin{t}\leqslant 1$, значит имеет место один единственный вариант, когда $\sin{5x}=-1$.
Тогда $-2\cos^2{x}=0 \Rightarrow \cos{x}=0$.
Так?

[Otta]

Так.

[Atom001]

И всё же, как наличие минуса перед корнем (в самом первом моём решении) повлияет на окончательный ответ, если я всё равно буду обе части возводить в квадрат? Какая разница, что стоит под квадратом? Да и потом, я же начальное уравнение возводил в квадрат, хотя там в правой части тоже был минус.

[provincialka]

Atom001 в сообщении #977838 писал(а):

И всё же, как наличие минуса перед корнем (в самом первом моём решении) повлияет на окончательный ответ, если я всё равно буду обе части возводить в квадрат?

От этого могли появиться лишние решения.

Atom001 в сообщении #977838 писал(а):

Да и потом, я же начальное уравнение возводил в квадрат, хотя там в правой части тоже был минус.

И от этого тоже.

Кстати, дело не в "минусе", а в том, что правая часть может иметь разный знак.

[Atom001]

provincialka в сообщении #977842 писал(а):

Да. И от этого могли появиться лишние решения.

Тогда всё ясно!
То есть, чтобы всё было правильно, я после возведения начального уравнения в квадрат, должен был рядом написать, что подкоренное выражение неотрицательно и косинус неположительный и всё время помнить об этих ограничениях?

[provincialka]

Ну, как-то так. Или сделать проверку, чтобы отбросить лишние корни.

-- 13.02.2015, 18:18 --

Atom001 в сообщении #977845 писал(а):

что подкоренное выражение неотрицательно

Нет, этого как раз не нужно. Неотрицательным должно быть выражение, которое вы возводите в квадрат. Но вам ведь уже показали, что второй раз возводить в квадрат не надо, зачем вам эта морока?

[Atom001]

Ну что ж, с задачей я разобрался. Она оказалась не такой уж и трудной.
Большое всем спасибо за помощь!

-- 14.02.2015, 00:21 --

Atom001 в сообщении #977851 писал(а):

Но вам ведь уже показали, что второй раз возводить в квадрат не надо, зачем вам эта морока?

Да, я всё понял.

[provincialka]

Беритесь теперь за С3. А там, чем черт не шутит, и до С5 доберетесь!

[Atom001]

provincialka в сообщении #977854 писал(а):

Беритесь теперь за С3. А там, чем черт не шутит, и до С5 доберетесь!

Обязательно! Планы у меня грандиозные :)