Задача из С1

[Atom001]

Здравствуйте! Вот задачка из бывшего C1.

$$\sqrt{\cos{2x}-\sin{5x}}=-2\cos{x}$$

Возведу обе части в квадрат:

$$\cos{2x}-\sin{5x}=4\cos^2{x}$$

Избавлюсь от косинуса двойного аргумента:

$$2\cos^2{x}-1-\sin{5x}-4\cos^2{x}=0$$

Превращу синус в косинус:

$$-2\cos^2{x}-1-\sqrt{1-\cos^2{5x}}=0$$

Избавлюсь от корня:

$$4\cos^4{x}+4\cos^2{x}+1-1+\cos^2{5x}=0$$

Единицы уйдут, останется сумма заведомо положительных чисел, равная нулю. Следовательно каждое слагаемое равно нулю. Значит справедлива такая система:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos{x}=0 \\ \cos{5x}=0 \\ \end{array} \right.$$

Но такая система решений не имеет, а в ответах решение есть (вернее только ответ). Кто прав: я или автор?

[ИСН]

Atom001 в сообщении #977596 писал(а):

Но такая система решений не имеет, а в ответах решение есть (вернее только ответ). Кто прав: я или автор?

Это очень просто узнать. Возьмите ответ и подставьте его в исходное уравнение.

[provincialka]

Идея выражать синус через косинус с помощью корня -- чрезвычайно плохая.

[Atom001]

ИСН в сообщении #977599 писал(а):

Это очень просто узнать. Возьмите ответ и подставьте его в исходное уравнение

Мысль у Вас хорошая, но, к сожалению, неосуществимая. Потому что это задание мне дал учитель, а ответ я не записал и забыл.

-- 13.02.2015, 16:52 --

provincialka в сообщении #977602 писал(а):

Идея выражать синус через косинус с помощью корня -- чрезвычайно плохая.

Почему?

[ИСН]

Atom001 в сообщении #977605 писал(а):

Потому что это задание мне дал учитель, а ответ я не записал и забыл.

У-ха-ха! Ну тогда придётся решать. Щас, погодите...

[provincialka]

Atom001 в сообщении #977605 писал(а):

Почему?

Потому что знак. Именно здесь вы и потеряли корни, при переходе от третьего уравнения к четвертому.
С четвертым ничего и делать не надо, там все слагаемые слева отрицательные.

[ИСН]

Короче, корень есть. Проверяйте у себя.

-- менее минуты назад --

Вот, например:

Atom001 в сообщении #977596 писал(а):

Значит справедлива такая система:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos{x}=0 \\ \cos{5x}=0 \\ \end{array} \right.$$

Но такая система решений не имеет

Да ну?

[Atom001]

provincialka в сообщении #977612 писал(а):

Потому что знак. Именно здесь вы и потеряли корни, при переходе от третьего уравнения к четвертому.

Да, я этого действительно не заметил. Но даже если рассмотреть два варианта (корень с плюсом и корень с минусом), то в любом случае придётся возводить в квадрат обе части, а это значит, что знак корня не имеет значения. Или я что-то опускаю?

-- 13.02.2015, 17:10 --

Atom001 в сообщении #977615 писал(а):

Да ну?

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=\frac{\pi}{2}+\pi k \\ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5} n\\ k,n \in \mathbb{Z} \end{array} \right.$$

Как тогда связать оба решения? Если иксы приравнять, то можно найти связь $k$ и $n$, но как мне это поможет?

[Cash]

Простенькая задачка
Дано: $\cos x =0$
Чему равно $\cos 5x$ ?

[ИСН]

Cash, Ваш вопрос интересен, но не туда. Тут проблема идентификации чисел. Это всегда бывает, когда привыкаешь писать $\dots+2\pi n$, а потом вдруг сталкиваются два таких, и ВНЕЗАПНО вообще непонятно, что с ними делать.

-- менее минуты назад --

Atom001 в сообщении #977615 писал(а):

Как тогда связать оба решения? Если иксы приравнять, то можно найти связь $k$ и $n$, но как мне это поможет?

Ну сделайте это. Или не делайте. Вот Вы говорите: приравнять. Но как можно приравнять два "числа", если каждое из них даже само себе не равно? Задумайтесь над этим.

[Atom001]

Cash в сообщении #977617 писал(а):

Простенькая задачка

$\cos{x}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k$
$\cos{5x}=\cos{(\frac{5\pi}{2}+5\pi k)}=-\sin{5\pi k}=0$

[Cash]

ИСН в сообщении #977618 писал(а):

Cash, Ваш вопрос интересен, но не туда. Тут проблема идентификации чисел. Это всегда бывает, когда привыкаешь писать $\dots+2\pi n$, а потом вдруг сталкиваются два таких, и ВНЕЗАПНО вообще непонятно, что с ними делать.

Сорри. Я хотел симптомы убрать. Ну ок. Глобальное лечение, видимо, придется на других примерах делать.

[ИСН]

Да, пожалуй что так.

[Cash]

И да. Выражать синусы через косинусы действительно не очень удачная идея.
Лучше здесь остановиться и немного подумать.
$-2\cos^2{x}-1=\sin{5x}$

[Atom001]

Atom001 в сообщении #977596 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos{x}=0 \\ \cos{5x}=0 \\ \end{array} \right.$$

Но такая система решений не имеет

Здесь я поспешил с выводами. Система действительно имеет решения:

$\cos{x} = \cos{5x}$

$\cos{x} - \cos{5x}=0$

$-2\sin{3x} \sin{-2x}=0$

$2\sin{3x} \sin{2x}=0$

Ну и тогда каждый синус приравниваем к нулю, получаем решения. Решений много. Ограничение я нашёл одно (вернее нашёл несколько, но только с одним можно работать): $\cos{x}\leqslant 0$
Как же теперь отобрать нужные корни?

Cash в сообщении #977625 писал(а):

Выражать синусы через косинусы действительно не очень удачная идея.

Я никак не могу понять почему.
Вот смотрите,

$2\cos^2{x}-1-\sin{5x}-4\cos^2{x}=0$

$-2\cos^2{x}-1=\sin{5x}$

$-2\cos^2{x}-1=\pm\sqrt{1-\cos^2{5x}}$

Теперь, после возведения в квадрат, справа будет положительное выражение.