2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 10:44 
Аватара пользователя


13/02/13
744
♍ — ☉ — ⊕
Здравствуйте! Вот задачка из бывшего C1.
$$\sqrt{\cos{2x}-\sin{5x}}=-2\cos{x}$$
Возведу обе части в квадрат:
$$\cos{2x}-\sin{5x}=4\cos^2{x}$$
Избавлюсь от косинуса двойного аргумента:
$$2\cos^2{x}-1-\sin{5x}-4\cos^2{x}=0$$
Превращу синус в косинус:
$$-2\cos^2{x}-1-\sqrt{1-\cos^2{5x}}=0$$
Избавлюсь от корня:
$$4\cos^4{x}+4\cos^2{x}+1-1+\cos^2{5x}=0$$
Единицы уйдут, останется сумма заведомо положительных чисел, равная нулю. Следовательно каждое слагаемое равно нулю. Значит справедлива такая система:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \cos{x}=0 \\
 \cos{5x}=0 \\
\end{array}
\right.$$
Но такая система решений не имеет, а в ответах решение есть (вернее только ответ). Кто прав: я или автор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Atom001 в сообщении #977596 писал(а):
Но такая система решений не имеет, а в ответах решение есть (вернее только ответ). Кто прав: я или автор?
Это очень просто узнать. Возьмите ответ и подставьте его в исходное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Идея выражать синус через косинус с помощью корня -- чрезвычайно плохая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 10:52 
Аватара пользователя


13/02/13
744
♍ — ☉ — ⊕
ИСН в сообщении #977599 писал(а):
Это очень просто узнать. Возьмите ответ и подставьте его в исходное уравнение

Мысль у Вас хорошая, но, к сожалению, неосуществимая. Потому что это задание мне дал учитель, а ответ я не записал и забыл.

-- 13.02.2015, 16:52 --

provincialka в сообщении #977602 писал(а):
Идея выражать синус через косинус с помощью корня -- чрезвычайно плохая.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Atom001 в сообщении #977605 писал(а):
Потому что это задание мне дал учитель, а ответ я не записал и забыл.
У-ха-ха! Ну тогда придётся решать. Щас, погодите...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Atom001 в сообщении #977605 писал(а):
Почему?

Потому что знак. Именно здесь вы и потеряли корни, при переходе от третьего уравнения к четвертому.
С четвертым ничего и делать не надо, там все слагаемые слева отрицательные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Короче, корень есть. Проверяйте у себя.

-- менее минуты назад --

Вот, например:
Atom001 в сообщении #977596 писал(а):
Значит справедлива такая система:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\cos{x}=0 \\
\cos{5x}=0 \\
\end{array}
\right.$$
Но такая система решений не имеет

Да ну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:06 
Аватара пользователя


13/02/13
744
♍ — ☉ — ⊕
provincialka в сообщении #977612 писал(а):
Потому что знак. Именно здесь вы и потеряли корни, при переходе от третьего уравнения к четвертому.

Да, я этого действительно не заметил. Но даже если рассмотреть два варианта (корень с плюсом и корень с минусом), то в любом случае придётся возводить в квадрат обе части, а это значит, что знак корня не имеет значения. Или я что-то опускаю?

-- 13.02.2015, 17:10 --

Atom001 в сообщении #977615 писал(а):
Да ну?

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x=\frac{\pi}{2}+\pi k \\
 x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5} n\\
 k,n \in \mathbb{Z}
\end{array}
\right.$$
Как тогда связать оба решения? Если иксы приравнять, то можно найти связь $k$ и $n$, но как мне это поможет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:16 
Заслуженный участник


12/09/10
1495
Простенькая задачка
Дано: $\cos x =0$
Чему равно $\cos 5x$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Cash, Ваш вопрос интересен, но не туда. Тут проблема идентификации чисел. Это всегда бывает, когда привыкаешь писать $\dots+2\pi n$, а потом вдруг сталкиваются два таких, и ВНЕЗАПНО вообще непонятно, что с ними делать.

-- менее минуты назад --

Atom001 в сообщении #977615 писал(а):
Как тогда связать оба решения? Если иксы приравнять, то можно найти связь $k$ и $n$, но как мне это поможет?
Ну сделайте это. Или не делайте. Вот Вы говорите: приравнять. Но как можно приравнять два "числа", если каждое из них даже само себе не равно? Задумайтесь над этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:21 
Аватара пользователя


13/02/13
744
♍ — ☉ — ⊕
Cash в сообщении #977617 писал(а):
Простенькая задачка

$\cos{x}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k$
$\cos{5x}=\cos{(\frac{5\pi}{2}+5\pi k)}=-\sin{5\pi k}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:24 
Заслуженный участник


12/09/10
1495
ИСН в сообщении #977618 писал(а):
Cash, Ваш вопрос интересен, но не туда. Тут проблема идентификации чисел. Это всегда бывает, когда привыкаешь писать $\dots+2\pi n$, а потом вдруг сталкиваются два таких, и ВНЕЗАПНО вообще непонятно, что с ними делать.


Сорри. Я хотел симптомы убрать. Ну ок. Глобальное лечение, видимо, придется на других примерах делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Да, пожалуй что так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 11:33 
Заслуженный участник


12/09/10
1495
И да. Выражать синусы через косинусы действительно не очень удачная идея.
Лучше здесь остановиться и немного подумать.
$-2\cos^2{x}-1=\sin{5x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из С1
Сообщение13.02.2015, 15:40 
Аватара пользователя


13/02/13
744
♍ — ☉ — ⊕
Atom001 в сообщении #977596 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\cos{x}=0 \\
\cos{5x}=0 \\
\end{array}
\right.$$
Но такая система решений не имеет

Здесь я поспешил с выводами. Система действительно имеет решения:

$\cos{x} = \cos{5x}$

$\cos{x} - \cos{5x}=0$

$-2\sin{3x} \sin{-2x}=0$

$2\sin{3x} \sin{2x}=0$

Ну и тогда каждый синус приравниваем к нулю, получаем решения. Решений много. Ограничение я нашёл одно (вернее нашёл несколько, но только с одним можно работать): $\cos{x}\leqslant 0$
Как же теперь отобрать нужные корни?

Cash в сообщении #977625 писал(а):
Выражать синусы через косинусы действительно не очень удачная идея.

Я никак не могу понять почему.
Вот смотрите,

$2\cos^2{x}-1-\sin{5x}-4\cos^2{x}=0$

$-2\cos^2{x}-1=\sin{5x}$

$-2\cos^2{x}-1=\pm\sqrt{1-\cos^2{5x}}$

Теперь, после возведения в квадрат, справа будет положительное выражение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group