2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение10.02.2015, 20:02 


05/05/13
5
Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, как можно решить следующие задачи:
1) доказать, что композиция инъективных отображений есть инъективное отображение;
2) доказать, что композиция сюръективных отображений есть сюръективное отображение;
3) доказать, что для того, чтобы соответствие f между X и Y было биекцией, необходимо и достаточно, чтобы
$f^-^1\,\circ\,f = id_X$ и $f^-^1\,\circ\,f = id_Y.$

Первые две как-то интуитивно понятны, но сформулировать в виде четкого доказательства не получается. Последняя (3) как-то не особо и понятно. В смысле - не понятно как доказывать.

-------------------------------------------------------------------
Ну, если попробовать хоть что-то написать, то выглядит вот так.
Задача 1.
Пусть у нас два отображения f и g. Композиция стало быть $f\circ g$
Инъективное отображение, это когда разные элементы переходят в разные элементы. То есть для $a,b\in X:\,a\ne b$ следует, что $f(a)\ne f(b). Для второго отображения - тоже $g(a)\ne g(b).
1. Возьмем два элемента первого множества $a\ne b$. Результаты первого отображения обозначим $a'=f(a)$ и $b'=f(b)$. Так как отображение по условию - инъективное, то $a'\ne b'$
2. Теперь выполним второе отображение. Обозначим $a''=g(a')$ и $b''=g(b')$. Так как второе отображение тоже инъективное, а из пункта один $a'\ne b'$, то отсюда $a''\ne b''$.
3. Таким образом, композиция отображений$f\circ g$ переводит разные элементы a,b в разные элементы a'', b'', то есть является инъективным отображением.
Как-то так.
---------------------
Задача 2, в принципе аналогично.
---------------------
Задача 3.
Тождественное преобразование переводит элементы множества сами в себя. То есть выражения из условия выглядят так:
$f^-^1(f(x))=x$ ну и соответственно $f(f^-^1(y))=y$. Это если в условии при записи второй композиции перепутаны местами $f^-^1$ и $f$. Если нет - даже не знаю, как подступиться.

В итоге, максимум, что смог вытянуть, выглядит криво и как-то по-читерски.
1. Так как в условии дано существование обратного отображения $f^-^1$ к $f$, то отображение $f$ как минимум инъективно. Аналогично, из второго выражения следует, что отображение $f^-^1$ тоже инъективно. На этом мысль останавливается. Попробовать доказать, что два взаимно инъективных отображения - сюръективны у меня не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.02.2015, 20:05 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.02.2015, 20:47 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение11.02.2015, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
leonardo_d в сообщении #976409 писал(а):
Это если в условии при записи второй композиции перепутаны местами $f^-^1$ и $f$.
Ясно, перепутаны, не может ведь одна композиция быть задана сразу на двух множествах (вообще говоря, не совпадающих). Кстати, у вас не указано, что есть $X$ и что есть $Y$. Видимо, считается, что $f: X \to Y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение12.02.2015, 00:07 


28/05/12
203
Вы точно правильно третью задачу знаписали? Если да, то биективность $f$ вполне естественно порождает $f^{-1}$ и, наоборот, если существует обратное, то $f$ обязано быть биективным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение12.02.2015, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Slow в сообщении #977067 писал(а):
если существует обратное, то $f$ обязано быть биективным.

Может, под обратным подразумевается не обратное отображение, а обратное отношение (соответствие)? Он не обязано быть однозначным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение14.02.2015, 12:23 


05/05/13
5
Все верно, в третьей задаче действительно "соотношение", я перепутал. Вот дословный текст задачи.

Цитата:
Докажите, что для того, чтобы соответствие $f$ между элементами множеств $X$ и $Y$ было биекцией $X$ на $Y$, необходимо и достаточно, чтобы $f^-^1\circ f=id_X$ и $f^-^1\circ f=id_Y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение14.02.2015, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Вот дословный правильный текст задачи.

Докажите, что для того, чтобы соответствие $f$ между элементами множеств $X$ и $Y$ было биекцией $X$ на $Y$, необходимо и достаточно, чтобы $f^-^1\circ f=id_X$ и $f\circ f^-^1=id_Y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение14.02.2015, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
leonardo_d
Думаю, вам надо показать свои усилия (на основе формулировки Brukvalub). А там и мы подтянемся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение15.02.2015, 00:13 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Первую задачу можно легко решить, если начать с определений. Даны два отображения $f \subseteq X\times Y$ и $g \subseteq Y\times Z$. Композицией $f$ и $g$ называется такое отображение $(f \circ g) \subseteq X \times Z$, что $\forall x\in X, z\in Z:(x,z)\in (f\circ g) \iff \exists y \in Y : ((x,y)\in f) \wedge ((y,z)\in g)$. Композиция будет инъективной, если $\forall x_1,x_2 \in X, \forall z \in Z ((x_1,z),(x_2,z) \in (f \circ g) \Rightarrow x_1=x_2)$ - это то, что требуется доказать. Нам дано также, что
$\forall x_1,x_2 \in X, \forall y \in Y ((x_1,y),(x_2,y) \in f \Rightarrow x_1=x_2)$
$\forall y_1,y_2 \in Y, \forall z \in Z ((y_1,z),(y_2,z) \in g \Rightarrow y_1=y_2)$

Предположим, что $(x_1,z),(x_2,z) \in (f\circ g)$, тогда по определению
$\exists y_1 \in Y:((x_1,y_1)\in f)\wedge ((y_1,z)\in g)$
$\exists y_2 \in Y:((x_2,y_2)\in f)\wedge ((y_2,z)\in g)$
то есть
$\exists y_1,y_2 \in Y:((x_1,y_1)\in f)\wedge ((y_1,z)\in g)\wedge ((x_2,y_2)\in f)\wedge ((y_2,z)\in g)$
Тогда
$((y_1,z)\in g)\wedge ((y_2,z)\in g) \Rightarrow y_1=y_2$
$((x_1,y_1)\in g)\wedge ((x_2,y_2)\in g) \Rightarrow x_1=x_2$

Попробуйте так же доказать всё остальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение15.02.2015, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Kras
Не стоит, все же, писать решения, пока ТС не появился и не сделал что-то сам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение15.02.2015, 00:35 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Ну кое-что он сделал, но это не самый лучший способ доказать первую теорему. Все остальные теоремы ТС может доказать сам. Я только не понимаю причём тут высшая алгебра. Разве это алгебра?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение15.02.2015, 03:06 
Модератор


20/03/14
8218
 !  Kras
Замечание за решение простой учебной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение16.02.2015, 22:30 


05/05/13
5
provincialka в сообщении #978269 писал(а):
leonardo_d
Думаю, вам надо показать свои усилия (на основе формулировки Brukvalub). А там и мы подтянемся.

Какой формулировки? Он же просто переписал условие с учетом исправления.
Все, что я смог, я уже написал выше. Новых данных никаких не было, поэтому особо ничего не поменялось.
------------------------------
Решение Kras если честно не понял. Попробую разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшая алгебра: задачи про биекцию
Сообщение16.02.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
leonardo_d
А вам в каком виде надо написать решение? Строго формально, символически (как у Kras) или по-простому, на словах, как доказывали вы сами? У него мне нравится аккуратная запись того, что "дано", то есть из какого множества в какое действуют отображения.

Кроме того, важная идея состоит в использовании определения композиции. Идеи того, что существует промежуточный элемент $y$. Теорему можно доказывать с конца: пусть $(f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2) = z$. То есть композиция переводит два элемента в один. Что из этого следует?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group