Задача про тележку, наезжающую на наклонную плоскость

[amon]

SomePupil в сообщении #972901 писал(а):

Абсолю́тно неупру́гий удар — удар, в результате которого компоненты скоростей тел, нормальные площадке касания, становятся равными.

Это не означает, что "в момент удара колеса о плоскость сохраняется проекция импульса на эту плоскость".

[lantza]

SomePupil в сообщении #972901 писал(а):

Вы просто не учли тот факт, что во время подъема переднего колеса, задняя тоже не стоит на месте.

Я же беру инерциальную систему отсчета, связанную с движущейся задней парой колес. В этой системе отсчета задняя стоит на месте.

Dima S в сообщении #972766 писал(а):

Именно в момент времени, когда передние колёса бьются о наклонную плоскость, их скорость в системе координат, связанной с задними колесами, вертикальна. Согласны?

Честно говоря, совершенно не понимаю, почему вертикально. Чего же не наклонно? Что при вертикальной, что при наклонной скорости - все равно меняется длина стержня (ведь в этой системе отсчета задняя пара колес неподвижна).

[Dima S]

lantza в сообщении #972973 писал(а):

Что при вертикальной, что при наклонной скорости - все равно меняется длина стержня (ведь в этой системе отсчета задняя пара колес неподвижна).

Отнюдь.
Давайте так: рассмотрим передние колёса в системе координат с началом в задних колёсах и с осями, направленными влево и вверх соответственно.
Длина стержня (расстояние между передней и задней парами колёс) фиксирована. Тогда передние колёса относительно задних в заданной системе координат вращаются, описывая окружность.
При движении тела по окружности его скорость перпендикулярна радиус-вектору, проведённому из центра окружности к телу, то есть в данном случае перпендикулярна стержню. Это верно во все моменты движения. А в момент удара передних колёс о наклонную плоскость стержень горизонтален, значит скорость передних колёс вертикальна.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #972823 писал(а):

пределы $R\to 0,\quad r\to 0,$ такие, чтобы они удовлетворяли тому, что нам более приятно.

если разные способы переходить к пределу дают разный результат, то это означает, что предельная задача некорректна

Цитата:

Рассмотрим соударение передней пары колёс с наклонной плоскостью. Поскольку удар неупругий, то в момент удара колёс о плоскость сохраняется проекция импульса тележки на эту плоскость

Это в принципе неверная фраза. Проекция импульса тележки сохраняется в силу того, чо ударная реакция перпендикулярна плоскости. А что еслиб удар был абсолютно упругий это было бы не так? Это отдельное предположение, оно из гипотезы неупругости удара не вытекает.

[lantza]

Dima S в сообщении #972977 писал(а):

Длина стержня (расстояние между передней и задней парами колёс) фиксирована. Тогда передние колёса относительно задних в заданной системе координат вращаются, описывая окружность.

А, так вот оно что. До меня сразу не дошло, как передние колёса двигаются в этой системе отсчета. Если по окружности, то насчет направления скорости теперь уже ясно.

Потом, как я понимаю, надо вернуться в обычную систему отсчета и учитывать, что скорость передней направлена вдоль плоскости. По закону сложения скоростей:
$\vec{\upsilon'_1}=\vec{\upsilon'}_{1\text{отн}}+\vec{\upsilon'_2}$
В проекции на ось по горизонтали (где относительная скорость перпендикулярна):
$\upsilon'_1\cos{\alpha}=\upsilon'_2$
Вот и ответ на первой мой вопрос.

Однако при этом второй вопрос остается еще в силе. Стараюсь снова смотреть движение передних колёс относительно задних, но не могу понять, как направлена $\vec{u}_{1\text{отн}}$ в моменте перед вторым ударом? Не вертикально же.

[Xey]

Oleg Zubelevich в сообщении #972723 писал(а):

это все фантазии, а не решение. например, в момент первого удара, другое колесо, находящееся на горизонтальной плоскости , испытавает у дар о пол или нет? почему? почему при ударе другой конец палки не подпрыгнет?

Пока можно пофантазировать , отвечу.
Второе колесо передней оси не испытает удара, хотя масса первой пары распределена по передней оси . Это потому, что есть задняя ось , в которой все дернется в обратную сторону, и есть продольный стержень, который должен выдержать скручиввание.

После наезда тележка станет почти велосипедом, на двух диагональных колесах.

[Dima S]

lantza в сообщении #973026 писал(а):

Стараюсь снова смотреть движение передних колёс относительно задних, но не могу понять, как направлена $\vec{u}_{1\text{отн}}$ в моменте перед вторым ударом? Не вертикально же.

Логика рассуждений, как и соотношение между скоростями пар колёс, здесь подобна той, что применена к описанию удара передних колёс.
Относительная скорость передних колёс опять перпендикулярна стержню, и, соответственно, наклонной плоскости.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #972993 писал(а):

если разные способы переходить к пределу дают разный результат, то это означает, что предельная задача некорректна

Ага. В математике. В физике можно уточнить, какой именно из разных результатов подразумевается. Потому что на самом деле нет предела, а есть только пренебрежимо малые величины. Такие, например, как отношение радиуса Земли к расстоянию от Земли до Солнца, в задаче движения Земли по орбите.

Ну так как, распишете перечисленные мной варианты, с точки зрения законов динамики удара, как вы их понимаете (наиболее строго, насколько я в курсе)? Это будет довольно важным вкладом, и можно будет давать как педагогический материал и студентам, и преподавателям.

-- 03.02.2015 18:08:23 --

amon в сообщении #972898 писал(а):

Munin в сообщении #972823 писал(а):

Введём на колесе и на плоскости тонкий слой "резины" с заданным модулем упругости (нужной размерности). Как он повлияет на ответы?

Один из вариантов - тележка встанет и никуда больше не поедет.

Окей. Я не думаю, что такой вариант сильно реалистичен. Но давайте изменим это условие. Пусть точки колеса взаимодействуют с поверхностью качения по закону:

$$U(d)=\begin{cases}0,&d\geqslant 0\\\dfrac{kd^2}{2},&d<0,\end{cases}$$

где $d$ - расстояние от точки до поверхности со знаком ("минус" - "вглубь поверхности"), а $k$ очень велико - как минимум $k\gg E_\mathrm{kin}/R^2,\quad k\gg mg/R.$

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #973107 писал(а):

Ага. В математике. В физике можно уточнить, какой именно из разных результатов подразумевается.

"уточнить, какой именно из разных результатов подразумевается" это значит взять некорректную модель и добавить к ней дополнительные условия так, чтоб она стала корректной

Munin в сообщении #973107 писал(а):

Ну так как, распишете перечисленные мной варианты, с точки зр

в этих предельных переходах, что Вы указали (некоторые совершенно чудовищны) нужды большой нет, множество ддопустимых предельных переходов описывается понятием "обобщенное решение", а уравнения теории удара это просто "условия на разрыве", которые следуют из этого понятия. И уравнения теории удара не образуют, естественно, замкнутую систему. Т.е. для однозначного нахождения скоростей после удара нужны дополнительные физическкиие гипотезы, и это наука. А а абсолютно упругий\неупругий удар это только такие детские модельки, которых может и не хыватить. В задаче про колесо об наклонную плоскость , вроде бы хватает. А что касается расписываний, то я тут задач по теории удара и так расписал свыше всякой меры

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #973158 писал(а):

это значит взять некорректную модель и добавить к ней дополнительные условия так, чтоб она стала корректной

Тут дело вот в чём. В физике понятие корректности иное, чем в математике. В математике "корректность" означает "непротиворечивость". В физике - "соответствие эксперименту". Так что да, в физике можно взять математически некорректную модель, сделать её математически корректной, и всё будет хорошо - если она при этом физически корректна.

Надеюсь, вы прислушаетесь к этому пояснению.

Oleg Zubelevich в сообщении #973158 писал(а):

в этих предельных переходах, что Вы указали (некоторые совершенно чудовищны) нужды большой нет, множество ддопустимых предельных переходов описывается понятием "обобщенное решение", а уравнения теории удара это просто "условия на разрыве", которые следуют из этого понятия.

Хорошо, меня устраивает любой путь, если только в итоге вы всё-таки изложите, как дело обстоит с перечисленными вариантами. Можете даже снабдить ссылками на учебники, в которых излагается соответствующий матаппарат.

[amon]

Munin в сообщении #973107 писал(а):

Окей. Я не думаю, что такой вариант сильно реалистичен. Но давайте изменим это условие. Пусть точки колеса взаимодействуют с поверхностью качения по закону:

$$U(d)=\begin{cases}0,&d\geqslant 0\\\dfrac{kd^2}{2},&d<0,\end{cases}$$

Это - пружина, а в условии - "удар неупругий". Давайте считать, что при наезде на вертикальную стенку колесо "проминается до обода", а потом, при подъеме вверх "заминает до обода" оставшуюся часть шины. На мой взгляд, очевидно, что при таком "сценарии удара" (весьма, к стати, реалистичного - колесо прокололи) никакого сохранения импульса вдоль направления плоскости нет, при этом удар попадает под определение "абсолютно неупругого". В прочем, ТС - то о кинематике тележки спрашивал, и пока мы философские вопросы решали, Dima S ему уже все растолковал.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #973180 писал(а):

Хорошо, меня устраивает любой путь, если только в итоге вы всё-таки изложите, как дело обстоит с перечисленными вариантами. Можете даже снабдить ссылками на учебники, в которых излагается соответствующий матаппарат.

(Навскидку)Про обобщенные решения в задачах теории удара написано тут http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus и тут http://journals.impan.pl/cgi-bin/doi?am40-3-8

про предельные переходы (и про многое другое) тут: V. V. Kozlov and D. V. Treshchev, BILLIARDS: A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts. Translations of Mathematical Monographs, vol. 89. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.
Думаю, что после этого чтения, Вам тоже станет очевидно, что все предельные переходы там выше $r,R\to 0$ приведут к некорректным результатам. а еще почему задача из стартового поста кажется мне такой подозрительной

[lantza]

Dima S в сообщении #973093 писал(а):

Логика рассуждений, как и соотношение между скоростями пар колёс, здесь подобна той, что применена к описанию удара передних колёс.
Относительная скорость передних колёс опять перпендикулярна стержню, и, соответственно, наклонной плоскости.

Да, согласен.



(Оранжевый цвет - вектора скоростей в системе отсчета, связанная с задними колесами.)
По закону сложения скоростей
$\vec{u_1}=\vec{u}_{1\text{отн}}+\vec{u_2}$
В проекциях на ось икс и игрек:
$u_1\cos\alpha=-u_{1\text{отн}}\sin\alpha+u_2$
$u_1\sin\alpha=u_{1\text{отн}}\cos\alpha
Решая его относительно $u_1$ и $u_2$, получится $u_1=u_2\cos\alpha$. И этим решился мой второй вопрос. Спасибо.

Одного не могу понять - почему составители решения не написали об этом все? Было бы намного понятнее.

[Munin]

amon в сообщении #973185 писал(а):

Это - пружина, а в условии - "удар неупругий".

А. Точно. Пардон. Тогда и с "резиной" вариант отменяется. Хм-м-м, как же это тогда реалистичней сделать. В формулах, а не с "кручением пальцами".

amon в сообщении #973185 писал(а):

и пока мы философские вопросы решали

Да уж...

-- 03.02.2015 21:56:02 --

Oleg Zubelevich в сообщении #973196 писал(а):

(Навскидку)

А мне не надо навскидку. Мне надо спокойно и чётко, ответ именно на мой вопрос. Я вас не тороплю, но если сказали "А" - то не пытайтесь отделаться.

Ссылки на литературу пригодятся кроме, а не вместо ответа.

[Oleg Zubelevich]

Вы получили и ссылки и ответ. Ваши предельные переходы некорректны. подробности см. в последней ссылке.