Задача про тележку, наезжающую на наклонную плоскость

[lantza]

Задача:
Тележка, состоящая из двух пар колес, соединенных лёгким и абсолютно жёстким стержнем длиной $l$, наезжает со скоростью $\upsilon$ на наклонную плоскость с углом наклона $\alpha$. Определите скорость тележки $u$ сразу после того, как она полностью въедет на плоскость. Вся масса $M$ каждой колёсной пары сосредоточена в её оси, удары абсолютно неупругие (то есть шины «мягкие»). Трением пренебречь.

Читаю решение, возникли пару вопросов.


1) Не понятно следствие постоянства длины стержня: "Поскольку длина стержня не меняется, то $\upsilon'_1\cos\alpha=\upsilon'_2$".
Ну, допустим стержень имеет постоянную длину $l$. Почему же справедливо это выражение для скоростей? Я никак этого не могу понять.

2) Не понятен также момент перед вторым ударом: почему скорость задней пары равна именно равна $\upsilon_2=\dfrac{\upsilon_1}{\cos\alpha}$? Из чего это вообще следует?

[Dima S]

Из постоянства $ l $ следует, что в системе координат, связанной с задней парой колес, передняя движется вертикально вверх, ибо другое направление её движения влекло бы изменение расстояния между парами колёс.
А из вертикальности скорости передней пары колёс в системе координат, связанной с задней, следует написанное в решении соотношение между скоростями пар в лабораторной системе координат.

[lantza]

Dima S в сообщении #972554 писал(а):

Из постоянства $ l $ следует, что в системе координат, связанной с задней парой колес, передняя движется вертикально вверх, ибо другое направление её движения влекло бы изменение расстояния между парами колёс.
А из вертикальности скорости передней пары колёс в системе координат, связанной с задней, следует написанное в решении соотношение между скоростями пар в лабораторной системе координат.

Смутно представляю все это. Ну, есть система координат, связанная с задней парой колес. Задняя пара колес неподвижна. Если считать, что передняя движется вертикально вверх в этой системе отсчета, то расстояние между ними, как-никак, меняется же. Я чего-то недопонимаю?

[Oleg Zubelevich]

пока не выписаны уравнения теории удара, это все фантазии, а не решение. например, в момент первого удара, другое колесо, находящееся на горизонтальной плоскости , испытавает у дар о пол или нет? почему? почему при ударе другой конец палки не подпрыгнет?
post819546.html#p819546 вот здесь показано, что при ударе по одном концу палки, другой конец тоже может испытывать удар

UPD

[lantza]

Oleg Zubelevich в сообщении #972723 писал(а):

пока не выписаны уравнения теории удара, это все фантазии, а не решение

Это из книги "Задачи московских городских олимпиад по физике", решение оттуда.
Что предлагаете сделать?

[Oleg Zubelevich]

предлагаю перейти к другой задаче, не такой скользкой

[lantza]

Oleg Zubelevich в сообщении #972733 писал(а):

предлагаю перейти к другой задаче, не такой скользкой

Я даже и не знаю, что сказать.
Тележка, состоящая из двух пар колес, соединенных лёгким и абсолютно жёстким стержнем длиной $l$, наезжает со скоростью $\upsilon$ на наклонную плоскость с углом наклона $\alpha$. Найдите скорость передней пары колес сразу после того, как она въедет на плоскость. Вся масса $M$ каждой колёсной пары сосредоточена в её оси, удары абсолютно неупругие (то есть шины «мягкие»). Трением пренебречь.
Так, что ли?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #972699 писал(а):

думаю, что все это "решение" , которое даже не использует уравнения теории удара, не более чем фантазии авторов задачи. а имеют ли эти фантазии какое-то отношение к законам динамики, это еще проверять и проверять

Ничего. В физике, знаете ли, нет одних-единственных законов динамики. Есть иерархия различных приближений, которые обращают или не обращают внимание на те или иные эффекты. Каким приближением пользоваться - надо смотреть по количественной малости или значимости эффектов.

[Dima S]

lantza
Именно в момент времени, когда передние колёса бьются о наклонную плоскость, их скорость в системе координат, связанной с задними колесами, вертикальна. Согласны?

[Geen]

(Oleg Zubelevich)

Oleg Zubelevich в сообщении #972723 писал(а):

пока не выписаны уравнения теории удара, это все фантазии, а не решение. например, в момент первого удара, другое колесо, находящееся на горизонтальной плоскости , испытавает у дар о пол или нет? почему? почему при ударе другой конец палки не подпрыгнет?

Почему-то в задаче о шаре на пружинке Вы подобный вопрос проигнорировали....

[Oleg Zubelevich]

Munin
Вы мой пост выше еще раз глянте

[Munin]

Oleg Zubelevich
Палка да. Но я бы рекомендовал начать с задачи: колесо радиуса R перекатывается с одной плоскости на другую плоскость (задача двумерная). Вопросы:
1. Что будет, если плоскости сопряжены в точке, или дугой радиуса $r<R.$
2. Сопряжены дугой радиуса $r=R.$
3. Сопряжены дугой радиуса $r>R.$
4. Сопряжены бесконечно дифференцируемой кривой, всюду имеющей направление между углами плоскостей, и минимальный радиус кривизны $r>R.$

Потом, сами понимаете, можно брать пределы $R\to 0,\quad r\to 0,$ такие, чтобы они удовлетворяли тому, что нам более приятно.

-- 03.02.2015 01:23:11 --

+ ещё.

Введём на колесе и на плоскости тонкий слой "резины" с заданным модулем упругости (нужной размерности). Как он повлияет на ответы?

[amon]

А я, пожалуй, поддержу Oleg Zubelevich"а. Левая задача. Решение основывается на сохранении импульса вдоль наклонной плоскости, при том, что система со связью, и до столкновения с наклонной плоскостью никакого сохранения импульса по вертикали нет вовсе. Поэтому, мне кажется, что для того что бы при ударе сохранялся импульс вдоль плоскости, надо наложить какие-то специальные условия. Одного заклинания "удар неупругий" маловато будет

[amon]

Munin в сообщении #972823 писал(а):

Введём на колесе и на плоскости тонкий слой "резины" с заданным модулем упругости (нужной размерности). Как он повлияет на ответы?

Один из вариантов - тележка встанет и никуда больше не поедет.

[SomePupil]

lantza в сообщении #972669 писал(а):

Dima S в сообщении #972554 писал(а):

Из постоянства $ l $ следует, что в системе координат, связанной с задней парой колес, передняя движется вертикально вверх, ибо другое направление её движения влекло бы изменение расстояния между парами колёс.
А из вертикальности скорости передней пары колёс в системе координат, связанной с задней, следует написанное в решении соотношение между скоростями пар в лабораторной системе координат.

Смутно представляю все это. Ну, есть система координат, связанная с задней парой колес. Задняя пара колес неподвижна. Если считать, что передняя движется вертикально вверх в этой системе отсчета, то расстояние между ними, как-никак, меняется же. Я чего-то недопонимаю?

Вы просто не учли тот факт, что во время подъема переднего колеса, задняя тоже не стоит на месте.

-- 03.02.2015, 04:26 --

А что касается развернувшейся полемики насчет удара, то без дополнительных условий этот спор ни к чему не приведет.
Эта задача чисто олимпиадная

-- 03.02.2015, 04:32 --

Хотя... Вот цитата из Википедии:
Абсолю́тно неупру́гий удар — удар, в результате которого компоненты скоростей тел, нормальные площадке касания, становятся равными.
Значит, условие "неупругий удар" все же обеспечивает правильность решения. Магия работает!