2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Экстремум модуля
Сообщение31.01.2015, 23:37 


03/06/12
2745
Подскажите, пожалуйста, как решить задачу:
Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии ($a>0$:
$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=a$, $z$-комплексное число.
Ясно, что если как-нибудь будет получен минимум(максимум), то, применяя те же рассуждения относительно $\dfrac{1}{z}$, получу максимум (минимум), и, короче, второе число будет просто обратным первым, но как получить первое? Пытался записать так: $z+\dfrac{1}{z}=a(cos\phi+isin\phi)$, но на те корни, которые выплывают при решении относительно $z$, смотреть страшно. Еще пытался так: $z=x+ iy$, вроде бы получил, что при $a\leq\sqrt{2}$ искомый минимум есть $\dfrac{a^{2}-2+a\sqrt{a^{2}-4}}{2}$, чего быть не может! Слишком откровенных подсказок не давайте, просто, пожалуйста, подтолкните в нужную сторону, хочется уметь что-то самому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 02:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы график этого $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ видели, для начала? На что он похож?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Решения не знаю, так, мысли по поводу. Может представить слагаемые как векторы и использовать неравенство треугольника? Возможно, оно превратится в равенство как раз в экстремальных случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 10:20 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
Рискну навлечь на себя насмешки и предположу, что
$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Воспользуйтесь показательной формой для $z$ и тем, что $|z|^2=z\overline{z}$.
Кроме того, надо хорошо представлять график функции $y=x+\frac1x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 15:40 


03/06/12
2745
ИСН в сообщении #972092 писал(а):
Вы график этого $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ видели, для начала? На что он похож?

Это что, в трехмерном пространстве, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 15:03 


03/06/12
2745
ИСН в сообщении #972349 писал(а):
Ну да.

Вы, наверное, пошутили, ха-ха-ха. Извините за мое исчезновение, просто допоздна думал, а когда дошло, включать комп уже не стал. Итак, я писал:
Sinoid в сообщении #972224 писал(а):
Это что, в трехмерном пространстве, что ли?

Оказалось, никакого трехмерного пространства не нужно! Меня напрягло, как использовать вот это
ex-math в сообщении #972200 писал(а):
надо хорошо представлять график функции $y=x+\frac1x$.

Ведь у меня комплексны числа, а в совете-действительные. Однако посмотрел на это
ex-math в сообщении #972200 писал(а):
Воспользуйтесь показательной формой для $z$ и тем, что $|z|^2=z\overline{z}$.

и понял: если $z=|z|e^{\phi i}$, то $|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\phi} $ вот где нужно поведение графика функции $y=x+\frac1x$! он "расходится" от прямой $x=1$ и поднимается вверх (я рассматриваю $x>0)$. Поэтому меньшая точка пересечения этого графика с прямой $y=a$ при $a>2$ уменьшается, а большая-увеличивается при увеличении $a$. Поэтому меньшее и большее значения $|z|$ (если они существуют), во-первых, являются точками пересечения одной прямой $y=a$ с графиком, а, во-вторых, нужно попробовать при максимуме $a^{2}+4\sin^{2}\phi$. Дальше все ясно. Спасибо всем.

-- 02.02.2015, 16:07 --

angor6 в сообщении #972141 писал(а):
$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$

Я это тождество не проверял, но в 98 процентах такие подходы ничего не дают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 16:55 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
Вы, наверное, пошутили, ха-ха-ха
Простите за добрый совет, но слова ИСН таки лучше, имхо, воспринимать всерьёз — пока не выучите математику хотя бы вполовину его :wink: По крайней мере, в данном случае функция $\left|z+\frac1z\right|$ отображает комплексную плоскость в действительное число и, стало быть, представляет поверхность в трёхмерном пространстве.
Кстати говоря,
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
$|z|+\dfrac{1}{|z|}$
вот это к задаче отношения не имеет. Модуль суммы раскрывается совершенно не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 17:11 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
angor6 в сообщении #972141 писал(а):
$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$

Я это тождество не проверял, но в 98 процентах такие подходы ничего не дают.

Что ж, может быть. Но во всяком случае $\left|z+\frac{1}{z}\right|\ne|z|+\frac{1}{|z|}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 20:37 


03/06/12
2745
iifat в сообщении #972573 писал(а):
но слова ИСН таки лучше, имхо, воспринимать всерьёз

Я так и воспринимаю, но и ИСН может пошутить над, по его мнению, лоботрясом. Просто, когда я писал про шутку, я думал (и, наверняка, так оно и есть), что ИСН еще до вот этого
ИСН в сообщении #972349 писал(а):
Ну да.

знал, что трехмерного пространства тут не нужно.

iifat в сообщении #972573 писал(а):
вот это к задаче отношения не имеет. Модуль суммы раскрывается совершенно не так.

Еще как имеет, благодаря этому не пришлось выходить в пространство, хватило плоскости.
А чему же, по-вашему, в данном случае равно $$|z|+\dfrac{1}{|z|}$$?
angor6 в сообщении #972582 писал(а):
Но во всяком случае $\left|z+\frac{1}{z}\right|\ne|z|+\frac{1}{|z|}.$

Так я это, вроде, и не утверждал.
И, angor6, пожалуйста, не обижайтесь, я никого не хотел обидеть, просто я с такими подходами столько прокопался с замороченными задачами, а результат получил буквально 2-3 раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 21:05 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
Sinoid, я не обижаюсь. Но как всё-таки быть с неравенством треугольника? Я и iifat получили от Вас противоречащие друг другу ответы на сей счёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 21:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid, найдите нули и полюс $z + \frac1z$ — и будете хотя бы представлять, где соответствующие минимуму точки стоит, а где не стоит искать. Это близко к совету ИСН.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
arseniiv
Так он уже решил задачу. По крайней мере от того, что он написал выше, до ответа расстояние в одно квадратное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 22:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Хм, я как-то плохо вчитался… :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group