2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение03.02.2015, 01:17 


03/06/12
2742
angor6 в сообщении #972675 писал(а):
Но как всё-таки быть с неравенством треугольника?

Я им здесь вообще не пользовался: оно в моем решении не нужно.
arseniiv в сообщении #972684 писал(а):
полюс $z + \frac1z$

Я еще вообще до полюсов не дошел. Что-то мы друг друга, по-моему, недопонимаем. Напишу-ка я полностью. Итак, $$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=a$$, откуда $\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\left(\overline{z}+\dfrac{1}{\overline{z}}\right)=a^{2}$, или $\left(z\overline{z}+\dfrac{1}{z\overline{z}}\right)+\dfrac{z}{\overline{z}}+\dfrac{\overline{z}}{z}=a^{2}$, но тогда, полагая $z=|z|e^{i\phi}$, получим: $\left(z\overline{z}+\dfrac{1}{z\overline{z}}\right)+2\cos\phi=a^{2}$, или $\left(|z|^{2}+2+\dfrac{1}{|z|^{2}}\right)+2\cos\phi-2=a^{2}$ и все! Комплексные числа исчезают, остаются их модули, действительные, положительные, до боли знакомые! Что нам, в принципе, и нужно! Далее, $\left(|z|+\dfrac{1}{|z|}\right)^{2}=a^{2}+4sin^{2}\dfrac{\phi}{2}$, или $|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$, вот здесь, да, мой косячок, ибо я писал, что
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
$|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\phi} $

, но это не очень изменит решение. Так как минимум выражения $|z|+\dfrac{1}{|z|$ есть 2, то, в силу положительности $a$, некоторый участок графика $y=|z|+\dfrac{1}{|z|$ лежит под прямой $y=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$ при любом $\phi$. Далее, смотрим на этот рисунок:
http://postimg.org/image/xntsala7p/ (блин, широкий, не входит)
из него видим, что если $\phi_1$ и $\phi_2$ такие, что $\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi_1}{2}}<\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi_2}{2}}$, то $x_{min}(\phi_2)<x_{min}(\phi_1)$, а $x_{max}(\phi_2)>x_{max}(\phi_1)$, (что можно строго доказать тем же действительным анализом) то есть, если бы уравнение $|z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$ имело действительные положительные решения, когда его правая часть достигает максимума, равного $\sqrt{a^{2}+4\}$, то корни из этих решений и были бы искомыми экстремумами. В существовании последних убеждаемся непосредственно. И числа-то подходящие получаются: радикалы тютелька в тютельку извлекаются! Фух! Пока написал, уже другие обсудили, ну ничего, чтобы не было кривотолков, опубликую.

-- 03.02.2015, 02:20 --

Формулы почему-то не все отображаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение03.02.2015, 02:15 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Sinoid в сообщении #972820 писал(а):
$\left(z\overline{z}+\dfrac{1}{z\overline{z}}\right)+2\cos\phi=a^{2}$
Вот тут не $2\phi$ (движок советует $2\varphi$, кстати) разве? На ход дальнейшего решения не повлияет, по-моему, но всё ж.
Sinoid в сообщении #972820 писал(а):
смотрим на этот рисунок
Хм. Дайте угадаю: это кошка? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение03.02.2015, 15:26 


03/06/12
2742
Sinoid в сообщении #972820 писал(а):
некоторый участок графика $y=|z|+\dfrac{1}{|z|$ лежит под прямой $y=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$ при любом $\phi$

Вот тут тоже косяк: надо было: для любого $a$ существуют такие $\phi$, что некоторый участок графика $y=|z|+\dfrac{1}{|z|$ лежит под прямой $y=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$. Написал, отошел от компа, потом дошло.
iifat в сообщении #972866 писал(а):
Вот тут не $2\phi$ (движок советует $2\varphi$, кстати) разве?

Блин, на бумаге писал $2\phi$

(Оффтоп)

iifat в сообщении #972866 писал(а):
Хм. Дайте угадаю: это кошка? :wink:

Нет, собака :-)


-- 03.02.2015, 16:49 --

И вот тут
Sinoid в сообщении #972820 писал(а):
$|z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$

Откуда у меня выскочила слева сумма квадратов, когда там просто сумма!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group