Экстремум модуля

[Sinoid]

angor6 в сообщении #972675 писал(а):

Но как всё-таки быть с неравенством треугольника?

Я им здесь вообще не пользовался: оно в моем решении не нужно.

arseniiv в сообщении #972684 писал(а):

полюс $z + \frac1z$

Я еще вообще до полюсов не дошел. Что-то мы друг друга, по-моему, недопонимаем. Напишу-ка я полностью. Итак,

$$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=a$$

, откуда $\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\left(\overline{z}+\dfrac{1}{\overline{z}}\right)=a^{2}$, или $\left(z\overline{z}+\dfrac{1}{z\overline{z}}\right)+\dfrac{z}{\overline{z}}+\dfrac{\overline{z}}{z}=a^{2}$, но тогда, полагая $z=|z|e^{i\phi}$, получим: $\left(z\overline{z}+\dfrac{1}{z\overline{z}}\right)+2\cos\phi=a^{2}$, или $\left(|z|^{2}+2+\dfrac{1}{|z|^{2}}\right)+2\cos\phi-2=a^{2}$ и все! Комплексные числа исчезают, остаются их модули, действительные, положительные, до боли знакомые! Что нам, в принципе, и нужно! Далее, $\left(|z|+\dfrac{1}{|z|}\right)^{2}=a^{2}+4sin^{2}\dfrac{\phi}{2}$, или $|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$, вот здесь, да, мой косячок, ибо я писал, что

Sinoid в сообщении #972530 писал(а):

$|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\phi} $

, но это не очень изменит решение. Так как минимум выражения $|z|+\dfrac{1}{|z|$ есть 2, то, в силу положительности $a$, некоторый участок графика $y=|z|+\dfrac{1}{|z|$ лежит под прямой $y=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$ при любом $\phi$. Далее, смотрим на этот рисунок:
http://postimg.org/image/xntsala7p/ (блин, широкий, не входит)
из него видим, что если $\phi_1$ и $\phi_2$ такие, что $\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi_1}{2}}<\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi_2}{2}}$, то $x_{min}(\phi_2)<x_{min}(\phi_1)$, а $x_{max}(\phi_2)>x_{max}(\phi_1)$, (что можно строго доказать тем же действительным анализом) то есть, если бы уравнение $|z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$ имело действительные положительные решения, когда его правая часть достигает максимума, равного $\sqrt{a^{2}+4\}$, то корни из этих решений и были бы искомыми экстремумами. В существовании последних убеждаемся непосредственно. И числа-то подходящие получаются: радикалы тютелька в тютельку извлекаются! Фух! Пока написал, уже другие обсудили, ну ничего, чтобы не было кривотолков, опубликую.

-- 03.02.2015, 02:20 --

Формулы почему-то не все отображаются.

[iifat]

Sinoid в сообщении #972820 писал(а):

$\left(z\overline{z}+\dfrac{1}{z\overline{z}}\right)+2\cos\phi=a^{2}$

Вот тут не $2\phi$ (движок советует $2\varphi$, кстати) разве? На ход дальнейшего решения не повлияет, по-моему, но всё ж.

Sinoid в сообщении #972820 писал(а):

смотрим на этот рисунок

Хм. Дайте угадаю: это кошка?

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #972820 писал(а):

некоторый участок графика $y=|z|+\dfrac{1}{|z|$ лежит под прямой $y=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$ при любом $\phi$

Вот тут тоже косяк: надо было: для любого $a$ существуют такие $\phi$, что некоторый участок графика $y=|z|+\dfrac{1}{|z|$ лежит под прямой $y=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$. Написал, отошел от компа, потом дошло.

iifat в сообщении #972866 писал(а):

Вот тут не $2\phi$ (движок советует $2\varphi$, кстати) разве?

Блин, на бумаге писал $2\phi$

(Оффтоп)

iifat в сообщении #972866 писал(а):

Хм. Дайте угадаю: это кошка?

Нет, собака :-)

-- 03.02.2015, 16:49 --

И вот тут

Sinoid в сообщении #972820 писал(а):

$|z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\dfrac{\phi}{2}}$

Откуда у меня выскочила слева сумма квадратов, когда там просто сумма!