2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Экстремум модуля
Сообщение31.01.2015, 23:37 
Подскажите, пожалуйста, как решить задачу:
Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии ($a>0$:
$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=a$, $z$-комплексное число.
Ясно, что если как-нибудь будет получен минимум(максимум), то, применяя те же рассуждения относительно $\dfrac{1}{z}$, получу максимум (минимум), и, короче, второе число будет просто обратным первым, но как получить первое? Пытался записать так: $z+\dfrac{1}{z}=a(cos\phi+isin\phi)$, но на те корни, которые выплывают при решении относительно $z$, смотреть страшно. Еще пытался так: $z=x+ iy$, вроде бы получил, что при $a\leq\sqrt{2}$ искомый минимум есть $\dfrac{a^{2}-2+a\sqrt{a^{2}-4}}{2}$, чего быть не может! Слишком откровенных подсказок не давайте, просто, пожалуйста, подтолкните в нужную сторону, хочется уметь что-то самому.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 02:24 
Аватара пользователя
Вы график этого $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ видели, для начала? На что он похож?

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 10:04 
Аватара пользователя
Решения не знаю, так, мысли по поводу. Может представить слагаемые как векторы и использовать неравенство треугольника? Возможно, оно превратится в равенство как раз в экстремальных случаях?

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 10:20 
Аватара пользователя
Рискну навлечь на себя насмешки и предположу, что
$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$. :oops:

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 14:40 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь показательной формой для $z$ и тем, что $|z|^2=z\overline{z}$.
Кроме того, надо хорошо представлять график функции $y=x+\frac1x$.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 15:40 
ИСН в сообщении #972092 писал(а):
Вы график этого $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ видели, для начала? На что он похож?

Это что, в трехмерном пространстве, что ли?

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение01.02.2015, 21:50 
Аватара пользователя
Ну да.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 15:03 
ИСН в сообщении #972349 писал(а):
Ну да.

Вы, наверное, пошутили, ха-ха-ха. Извините за мое исчезновение, просто допоздна думал, а когда дошло, включать комп уже не стал. Итак, я писал:
Sinoid в сообщении #972224 писал(а):
Это что, в трехмерном пространстве, что ли?

Оказалось, никакого трехмерного пространства не нужно! Меня напрягло, как использовать вот это
ex-math в сообщении #972200 писал(а):
надо хорошо представлять график функции $y=x+\frac1x$.

Ведь у меня комплексны числа, а в совете-действительные. Однако посмотрел на это
ex-math в сообщении #972200 писал(а):
Воспользуйтесь показательной формой для $z$ и тем, что $|z|^2=z\overline{z}$.

и понял: если $z=|z|e^{\phi i}$, то $|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\phi} $ вот где нужно поведение графика функции $y=x+\frac1x$! он "расходится" от прямой $x=1$ и поднимается вверх (я рассматриваю $x>0)$. Поэтому меньшая точка пересечения этого графика с прямой $y=a$ при $a>2$ уменьшается, а большая-увеличивается при увеличении $a$. Поэтому меньшее и большее значения $|z|$ (если они существуют), во-первых, являются точками пересечения одной прямой $y=a$ с графиком, а, во-вторых, нужно попробовать при максимуме $a^{2}+4\sin^{2}\phi$. Дальше все ясно. Спасибо всем.

-- 02.02.2015, 16:07 --

angor6 в сообщении #972141 писал(а):
$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$

Я это тождество не проверял, но в 98 процентах такие подходы ничего не дают.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 16:55 
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
Вы, наверное, пошутили, ха-ха-ха
Простите за добрый совет, но слова ИСН таки лучше, имхо, воспринимать всерьёз — пока не выучите математику хотя бы вполовину его :wink: По крайней мере, в данном случае функция $\left|z+\frac1z\right|$ отображает комплексную плоскость в действительное число и, стало быть, представляет поверхность в трёхмерном пространстве.
Кстати говоря,
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
$|z|+\dfrac{1}{|z|}$
вот это к задаче отношения не имеет. Модуль суммы раскрывается совершенно не так.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 17:11 
Аватара пользователя
Sinoid в сообщении #972530 писал(а):
angor6 в сообщении #972141 писал(а):
$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$

Я это тождество не проверял, но в 98 процентах такие подходы ничего не дают.

Что ж, может быть. Но во всяком случае $\left|z+\frac{1}{z}\right|\ne|z|+\frac{1}{|z|}.$

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 20:37 
iifat в сообщении #972573 писал(а):
но слова ИСН таки лучше, имхо, воспринимать всерьёз

Я так и воспринимаю, но и ИСН может пошутить над, по его мнению, лоботрясом. Просто, когда я писал про шутку, я думал (и, наверняка, так оно и есть), что ИСН еще до вот этого
ИСН в сообщении #972349 писал(а):
Ну да.

знал, что трехмерного пространства тут не нужно.

iifat в сообщении #972573 писал(а):
вот это к задаче отношения не имеет. Модуль суммы раскрывается совершенно не так.

Еще как имеет, благодаря этому не пришлось выходить в пространство, хватило плоскости.
А чему же, по-вашему, в данном случае равно $$|z|+\dfrac{1}{|z|}$$?
angor6 в сообщении #972582 писал(а):
Но во всяком случае $\left|z+\frac{1}{z}\right|\ne|z|+\frac{1}{|z|}.$

Так я это, вроде, и не утверждал.
И, angor6, пожалуйста, не обижайтесь, я никого не хотел обидеть, просто я с такими подходами столько прокопался с замороченными задачами, а результат получил буквально 2-3 раза.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 21:05 
Аватара пользователя
Sinoid, я не обижаюсь. Но как всё-таки быть с неравенством треугольника? Я и iifat получили от Вас противоречащие друг другу ответы на сей счёт.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 21:33 
Sinoid, найдите нули и полюс $z + \frac1z$ — и будете хотя бы представлять, где соответствующие минимуму точки стоит, а где не стоит искать. Это близко к совету ИСН.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 22:02 
Аватара пользователя
arseniiv
Так он уже решил задачу. По крайней мере от того, что он написал выше, до ответа расстояние в одно квадратное уравнение.

 
 
 
 Re: Экстремум модуля
Сообщение02.02.2015, 22:52 
Хм, я как-то плохо вчитался… :?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group