Доказать равномерную сходимость интеграла

[ex-math]

ewert
Это я его засмущал, потому что он мешал в одну кучу собственно Вейерштрасса и доказательство сходимости оценивающего интеграла.

[ewert]

Да Вейерштрасс тут вообще не при чём.

[SlayZar]

ewert в сообщении #969389 писал(а):

SlayZar в сообщении #969384 писал(а):

Пусть $e^{-\alpha_0 x^4} < \frac{1}{x^2}$

А Вы это доказали?

Это вытекает из того, что показательная растет быстрее, чем степенная.

ewert в сообщении #969389 писал(а):

И чем Вам не нравится оценка $x<x^4$?

Ну да, так наверное даже проще было б.
$\forall x >1: e^{-\alpha_0 x^4}<e^{-\alpha_0 x}$
$\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0 x}}=\frac{1}{\alpha_0}$ так как $\int {e^{-\alpha_0 x}}=-\frac{e^{-\alpha_0 x}}{\alpha_0}$

Значит, интеграл $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0 x^4}}$ сходится по признаку сравнения.

[ex-math]

ewert
Ну как же, после того как решили с помощью определения, стали решать с помощью признака Вейерштрасса. На практике это, кстати, удобнее, хотя для понимания полезнее первый способ.

[patzer2097]

Не понимаю, почему эта задача так долго висит в списке обсуждаемых тем. Можно же просто заметить, что

$$\int\limits_n^{+\infty}{e^{-\alpha x^4}}dx<\int\limits_n^{+\infty}{e^{-\alpha_0 x^4}}dx$$

при положительном $n$ и $\alpha>\alpha_0$, сводя задачу о равномерной сходимости к просто сходимости при $\alpha=\alpha_0$.

[ex-math]

patzer2097
Ну вот мы и добивались, чтобы ТС заметил.

[patzer2097]

Понятно, просто создалось впечатление, что это одна из тем, которые создаются с провокационными намерениями, собирают массу просмотров и сообщений и на которые модераторы не обращают внимания. Удивительно, но тут, похоже, несколько иной случай

[Lia]

patzer2097 в сообщении #969525 писал(а):

Не понимаю, почему эта задача так долго висит в списке обсуждаемых тем. Можно же просто заметить, что

Потому что это одно из распространенных студенческих непониманий постановки задачи: условие $\alpha\in (\alpha_0,+\infty),\; \alpha_0>0$ интерпретируется как $\alpha>0$ и объяснить, в чем разница, бывает очень непросто. Стойкое такое заблуждение.