2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 20:55 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Задача такая:
Может ли счетное множество на плоскости иметь континуум предельных точек, ни одна из которых не принадлежит этому счетному множеству?
Введем на плоскости систему координат $XY$. Рассмотрим на $OX$ множество $[1;+\infty)$. Назовем его $A$
(Чем не множество на плоскости?)
На нем введем метрику:
$\max([x],[y])$, Если $x \ne y$, где $[x]$ - целая часть числа
$0$, Если $x = y$.
Тогда для множества только натуральный числе из $A$ ( $N$ ) найдется континуум предельных точек из $A$. Это точки из $A\setminus N$. В окрестность для каждой точки в этой метрике обязательно попадут точки из $N$ . Значит, да, может.
Правильное рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Для начала: разве условием разрешено уродовать стандартную Эвклидову метрику плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:03 


10/02/11
6786
это не задача, это игра в подавки какая-то

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:05 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bacon в сообщении #960758 писал(а):
счетное множество на плоскости
Что такое плоскость?
Bacon в сообщении #960758 писал(а):
иметь
Только "иметь" или всё же, чтоб её предельные точки формировали… и далее по списку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:07 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Brukvalub
Ну а почему бы и нет, указаний какую метрику здесь использовать нет. А все что не запрещено, то разрешено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
Bacon в сообщении #960758 писал(а):
На нем введем метрику:
$\max([x],[y])$, Если $x \ne y$, где $[x]$ - целая часть числа
$0$, Если $x = y$.

Это разве метрика?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Bacon, Вы когда-нибудь слышали про рациональные и иррациональные числа?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:15 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Nemiroff
Я так понимаю $R \times R$. Ваши претензии к слову "иметь" мне не понятны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:17 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
мат-ламер в сообщении #960771 писал(а):
Это разве метрика?
Нет конечно. Но тут веселее вещи есть.

-- Пн янв 12, 2015 21:19:05 --

Bacon в сообщении #960777 писал(а):
Я так понимаю $R \times R$.
Тогда не уродуйте метрику, как вам Brukvalub и сказал. Какие ещё координаты? У вас и так числовое множество.
Bacon в сообщении #960777 писал(а):
Ваши претензии к слову "иметь" мне не понятны.
Есть множество предельных точек. Одно дело, оно таково, что оно несчётно и не пересекается с исходным. Другое дело, в нём внутри есть подмножество, которое несчётно и не пересекается с исходным. По-русски и так, и так — "иметь".

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Согласна с Nemiroff
Непонятно, зачем сказано
Bacon в сообщении #960758 писал(а):
ни одна из которых не принадлежит этому счетному множеству

Из которых "которых"? Из континуума? Или из всех предельных?

В первом смысле добавление излишне: если из континуума удалить счетное множество, он останется континуумом.
Если имелся в виду второй случай, стоило сказать об этом определеннее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:26 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Мне кажется, что рациональные числа здесь не подойдут, так как каждое из них само по себе является предельной точкой рациональных чисел, а условие требует, чтобы предельные точки не входили в множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:37 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Nemiroff
provincialka
Честно говоря никак не пойму, почему это не метрика на $A$. Вроде же все аксиомы выполняются.
Я понимаю задачу так: существует ли на плоскости счетное множество, у которой континуум предельных точек, таких что ни одна из них не принадлежит этому счетному множеству. Случай когда это подмножество всех ее предельных точек или вообще все ее предельные точки - не важно, оба варианта проходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:41 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bacon в сообщении #960790 писал(а):
Вроде же все аксиомы выполняются.
Ну докажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и мощности множеств
Сообщение12.01.2015, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Раз говорят не "произвольное метрическое пространство", а "на плоскости", это подразумевает стандартную метрику на плоскости. Ибо иначе зачем?

Формулировка по прежнему лукавая. Например, "И.И. имеет 5 знакомых женщин, из которых ни одна ему не жена". Это как понимать? Видимо так, что есть жена (возможно), а есть еще пять знакомых женщин.
А можно понимать так: всего знакомых женщин 5, и ни одна из них не жена. Тогда жены у И.И. вообще нет (странно было бы иметь "незнакомую" жену :wink: ).

У вас то же самое. Но первая интерпретация бессмысленна, так как континуум он и есть континуум, причем тут "жена" счетное множество?
Значит, надо выбирать вторую интерпретацию. Но это только домысел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group