2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 21:43 
Аватара пользователя


06/01/15
78
"Докажите, что замкнутый круг в произвольном метрическом пространстве является замкнутым множеством"
Вроде как очевидное высказывание, но как его аккуратно доказать?
Никаких указаний по определению замкнутого круга не дано.
Я рассуждал так: Замкнутый круг - это замыкание открытого круга. Под замыканием множества я понимаю: пересечение всех замкнутых множеств, содержащих это множество. Так как любое пересечение замкнутых множеств - замкнуто, то замкнутый круг является замкнутым множеством.
Является ли такое рассуждение верным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14493
Новомосковск
Bacon в сообщении #960155 писал(а):
Замкнутый круг - это замыкание открытого круга.
Вообще говоря, нет. Если Вы знаете определение открытого круга (сформулируйте его, кстати), то нужно в нём строгое неравенство заменить нестрогим.

P.S. Кстати, в общих метрических пространствах обычно употребляется термин "шар", а не "круг".

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 21:56 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Someone
В том-то и проблема! В метрических пространствах используется понятие "шар" и ее определение вполне прозрачно. Доказать просят для круга, определение которого (что открытого, что закрытого) я так нигде и не нашел, вот и пытаюсь как-то выкрутиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:00 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
Bacon
А в чем собственно вопрос?
как сказал Someone

1.Сформулируйте определение открытого круга(Ну так для ясности происходящего).
2.Теперь замкнутого круга.(естественно оба определения через метрику....)
3.Определение замкнутого множества.

И тогда разговор будет содержательным.


Ну вы сами то понимаете хоть интуитивно, чем замкнутый круг от открытого отличается? Далее вспомните как определялась окружность... Теперь поймите чем окр-ть от круга отличается........

Начнем во с чего

Пусть мы ведем разговор в $(M;\rho)$- произвольное метрическое пространство...

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:02 
Аватара пользователя


28/07/09
1022

(Оффтоп)

Bacon в сообщении #960155 писал(а):
Вроде как очевидное высказывание

Очевидных высказываний в этом предмете мало :D
Я вам больше скажу - даже замыкание чего-либо не обязано являться замкнутым и это надо отдельно доказывать. Ну в метрических пространствах такого безобразия конечно не бывает, да

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань

(Оффтоп)

Наверное все-таки под "кругом" понимается "шар". Который задается неравенством $\rho(x,a)<r$ (открытый) или $\rho(x,a)\leqslant r$ (замкнутый). Ведь в произвольном метрическом пространстве нет "плоских" подпространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:03 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
provincialka
ну зачем...

(Оффтоп)

Хоть и не супер источник https://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%F0%F3%E3

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Это самая простая часть. Пусть про замкнутость думает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:12 
Аватара пользователя


28/07/09
1022
provincialka
Чего там думать теперь - чтоб нестрогое неравенство сломать предельным переходом, надо убежать больше, чем на $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:13 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
Bacon
Цитата:
В метрических пространствах используется понятие "шар" и ее определение вполне прозрачно

А def. замкнутого круга, конечно покрыто мраком непрозрачности.....

-- Вс янв 11, 2015 23:14:28 --

Legioner93
ТС пока не проявил никаких действий. Не стоит так сильно намекать на решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Legioner93
Вот пусть ТС и делает. По опыту общения предполагаю, что с первого раза не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение11.01.2015, 23:00 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)

(Оффтоп)

и тишина.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение12.01.2015, 00:58 
Аватара пользователя


06/01/15
78
maxmatem
Если все-таки понимать под кругом шар . $\rho(a,x)\leqslant r$. То тогда он замкнутый, потому что всего его точки, будут является предельными, а для любой не принадлежащей ему точки , будут окрестности в которых точек шара не будет .
Показать это можно наверное так:
Будем рассматривать все "внешние" точки для шара как точки на расстоянии $\rho(a,K)$
$K$ такое что $\rho(a,K)>r $
Выделим произвольную сходящуюся последовательность расстояний (все последовательности расстояний на этом шаре ограничены, поэтому по теореме Больцано — Вейерштрасса всегда можно выделить сходящуюся) на шаре $\rho(a,x_{n})$
Тогда для того что бы все эти расстояния попадали в $\varepsilon$ окрестность $\rho(a,K)$
Должно выполняться (1) $$\lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=\rho(a,K)$$
Но любой элемент сходящийся последовательности $\rho(a,x_{n})$ меньше $r$, поэтому ее предел не может превосходить $r$
Поэтому (1) не выполнится никогда, значит не найдется такой точки расстоянию к которой можно свести последовательность расстояний на шаре. Из этого можно сделать вывод, что для любой "внешней" точки не найдется на шаре ни одной сходящейся последовательности точек.
А значит не в любой ее окрестности будут точки шара, значит "внешние" точки не являются предельными.

-- 12.01.2015, 00:59 --

provincialka
Да, ахах без глупой попытки еще ни разу не вышло :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение12.01.2015, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Bacon в сообщении #960272 писал(а):
на расстоянии $\rho(a,r+K)$
$K$ такое что $\rho(a,K)>\rho(a,r)$
Из второго неравенства следует, что точка $K$ находится вне шара. А что такое $r+K$? Да, а что такое $r$?

Все-таки выпишите явно, каким определением (признаком) замкнутости вы пользуетесь? Разные бывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутость замкнутого круга
Сообщение12.01.2015, 01:20 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
$r+k$ поправил.
$r$ - радиус.
Пользуюсь определением замкнутого множества. Замкнутое множество - множество содержащие все свои предельные точки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group