В формуле же Ньютона-Лейбница нужно просто найти две первообразных.
Не нужно. Нужно одну. Но в двух точках.
Есть соответствующая теорема, которая связывает определенный интеграл и первообразную.
Площадь -- это определенный интеграл (тот, который предел интегральных сумм). А формула Ньютона -Лейбница дает способ его вычисления.