Замкнутость замкнутого круга

[provincialka]

Bacon в сообщении #960289 писал(а):

Замкнутое множество - множество содержащие все свои предельные точки.

Хорошо. А вы что доказываете? Догадываюсь, что, но все же для надежности сформулируйте явно. А то у вас ямы в рассуждениях.

Bacon в сообщении #960272 писал(а):

Выделим произвольную сходящуюся последовательность расстояний

А вот это неудачная идея. Тем более, не сказано, из чего вы ее выделяете. И почему именно расстояний?

[Bacon]

provincialka
Я доказываю, что любая внешняя точка не будет предельной.
Как понять из чего выделяю? Чтобы свести как-нибудь доказательство к числовым последовательностям. Ничего лучше не придумалось

[provincialka]

Уточняю. Вы берете внешнюю точку $k$. И хотите доказать, что она не является предельной (так все-таки конкретнее, надо же точку как-то назвать).

Теперь -- что значит "не является предельной". Это сформулируйте.

[Bacon]

provincialka
ааа вот оно что, это означает что у $k $ существует окрестность(и) в которой нет точек из шара.
Мне стоило написать: " предположим, что в любой окрестности $k $ существуют точки из шара, что означает, что на шаре существует последовательность точек, сходящаяся к $k $. Саму точку $k $ можно задать расстоянием до нее от центра шара, точно так же мы можем задать каждую точку последовательности. И показать, что предположение не выполняется. Соорудить доказательство от противного.

[provincialka]

Собственно, а так ли нужны здесь какие-то последовательности? Нельзя ли сразу построить

Bacon в сообщении #960329 писал(а):

окрестность в которой нет точек из шара.

Пусть точка $k$ лежит на расстоянии $R>r$ от центра шара. Какую же окрестность нам подобрать...

[Bacon]

provincialka
$R - r $, в этой окрестности точек из шара не будет.
И чего меня понесло в эти последовательности

[provincialka]

Ага.

(Оффтоп)

на в этой окрестности

[Bacon]

provincialka
А нужно ли доказывать, что все точки внутри шара - предельные. Или достаточно сказать, что шар связное множество и от каждой точки до другой можно по кривой прийти. Хотя стоит ли заикаться о кривой в произвольном метрическом пространстве.

[provincialka]

Не надо никаких связных множеств. Замкнутое множество не обязано быть связным. Оно может вообще из одних изолированных точек состоять.

[Bacon]

provincialka
Так, тогда по пунктам, в любой окрестности точки шара, должны содержаться другие точки шара. Это действительно так, потому что любая окрестность точки будет содержать подмножество $\rho(a,x)\leqslant r$ или сама будет являться подмножеством $\rho(a,x)\leqslant r$

[provincialka]

Bacon в сообщении #960369 писал(а):

Так, тогда по пунктам, в любой окрестности точки шара, должны содержаться другие точки шара.

Это зачем? Ведь уже все доказано. Разве что указать, по какому свойству метрики получается, что окрестности двух точек не пересекаются.
Или у вас уже новая задача?

[Bacon]

provincialka
Да нет, все та же, просто чтобы замкнутый шар был замкнутый, нужно чтобы он содержал все свои предельные точки, я доказал что все внешние не являются предельными, но из этого же не следует что все его внутренние точки предельные. Вот я и пытался рассуждать постом выше.

[provincialka]

Bacon в сообщении #960580 писал(а):

чтобы он содержал все свои предельные точки

Bacon в сообщении #960580 писал(а):

что все его внутренние точки предельные

Что вы называете "внутренними точками"? Точки множества или (что правильно) точки внутренности? Любая внутренняя точка любого множества, разумеется, является для него предельной. И что? Это не имеет отношения к задаче.

Например, множество, состоящее из 5 отдельных точек - замкнуто, но его точки не являются для него предельными (они изолированные).

-- 12.01.2015, 16:24 --

Oleg Zubelevich в сообщении #960590 писал(а):

Удалено

[Oleg Zubelevich]

Bacon в сообщении #960155 писал(а):

"Докажите, что замкнутый круг в произвольном метрическом пространстве является замкнутым множеством"

докажите более ощее утверждение: если $f:X\to \mathbb{R}$ -- непрерывная функция на метрическом пространстве , то множество $\{x\mid f(x)\le c\}$ замкнуто

-- Пн янв 12, 2015 16:27:30 --

provincialka в сообщении #960586 писал(а):

му? Где ошибка в рассуждении? Ведь метрической пространство отделимо.

потер уже

[Bacon]

Да, тут речь о точках внутренности. Я имел ввиду точки подчиняющиеся $\rho(a,x)\leqslant r$
Ну с 5 изолированными точками понятно, принято-то же считать множество замкнутым, если оно вообще не имеет предельных точек. Но в шаре-то нет изолированных точек, значит остается случай, когда все точки внутренности - предельные.