Замкнутость замкнутого круга

[Bacon]

"Докажите, что замкнутый круг в произвольном метрическом пространстве является замкнутым множеством"
Вроде как очевидное высказывание, но как его аккуратно доказать?
Никаких указаний по определению замкнутого круга не дано.
Я рассуждал так: Замкнутый круг - это замыкание открытого круга. Под замыканием множества я понимаю: пересечение всех замкнутых множеств, содержащих это множество. Так как любое пересечение замкнутых множеств - замкнуто, то замкнутый круг является замкнутым множеством.
Является ли такое рассуждение верным?

[Someone]

Bacon в сообщении #960155 писал(а):

Замкнутый круг - это замыкание открытого круга.

Вообще говоря, нет. Если Вы знаете определение открытого круга (сформулируйте его, кстати), то нужно в нём строгое неравенство заменить нестрогим.

P.S. Кстати, в общих метрических пространствах обычно употребляется термин "шар", а не "круг".

[Bacon]

Someone
В том-то и проблема! В метрических пространствах используется понятие "шар" и ее определение вполне прозрачно. Доказать просят для круга, определение которого (что открытого, что закрытого) я так нигде и не нашел, вот и пытаюсь как-то выкрутиться.

[maxmatem]

Bacon
А в чем собственно вопрос?
как сказал Someone

1.Сформулируйте определение открытого круга(Ну так для ясности происходящего).
2.Теперь замкнутого круга.(естественно оба определения через метрику....)
3.Определение замкнутого множества.

И тогда разговор будет содержательным.


Ну вы сами то понимаете хоть интуитивно, чем замкнутый круг от открытого отличается? Далее вспомните как определялась окружность... Теперь поймите чем окр-ть от круга отличается........

Начнем во с чего

Пусть мы ведем разговор в $(M;\rho)$- произвольное метрическое пространство...

[Legioner93]

(Оффтоп)

Bacon в сообщении #960155 писал(а):

Вроде как очевидное высказывание

Очевидных высказываний в этом предмете мало
Я вам больше скажу - даже замыкание чего-либо не обязано являться замкнутым и это надо отдельно доказывать. Ну в метрических пространствах такого безобразия конечно не бывает, да

[provincialka]

(Оффтоп)

Наверное все-таки под "кругом" понимается "шар". Который задается неравенством $\rho(x,a)<r$ (открытый) или $\rho(x,a)\leqslant r$ (замкнутый). Ведь в произвольном метрическом пространстве нет "плоских" подпространств.

[maxmatem]

provincialka
ну зачем...

(Оффтоп)

Хоть и не супер источник https://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%F0%F3%E3

[provincialka]

Это самая простая часть. Пусть про замкнутость думает.

[Legioner93]

provincialka
Чего там думать теперь - чтоб нестрогое неравенство сломать предельным переходом, надо убежать больше, чем на $\varepsilon$.

[maxmatem]

Bacon

Цитата:

В метрических пространствах используется понятие "шар" и ее определение вполне прозрачно

А def. замкнутого круга, конечно покрыто мраком непрозрачности.....

-- Вс янв 11, 2015 23:14:28 --

Legioner93
ТС пока не проявил никаких действий. Не стоит так сильно намекать на решение.

[provincialka]

Legioner93
Вот пусть ТС и делает. По опыту общения предполагаю, что с первого раза не получится.

[maxmatem]

(Оффтоп)

и тишина.....

[Bacon]

maxmatem
Если все-таки понимать под кругом шар . $\rho(a,x)\leqslant r$. То тогда он замкнутый, потому что всего его точки, будут является предельными, а для любой не принадлежащей ему точки , будут окрестности в которых точек шара не будет .
Показать это можно наверное так:
Будем рассматривать все "внешние" точки для шара как точки на расстоянии $\rho(a,K)$
$K$ такое что $\rho(a,K)>r $
Выделим произвольную сходящуюся последовательность расстояний (все последовательности расстояний на этом шаре ограничены, поэтому по теореме Больцано — Вейерштрасса всегда можно выделить сходящуюся) на шаре $\rho(a,x_{n})$
Тогда для того что бы все эти расстояния попадали в $\varepsilon$ окрестность $\rho(a,K)$
Должно выполняться (1)

$$\lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=\rho(a,K)$$

Но любой элемент сходящийся последовательности $\rho(a,x_{n})$ меньше $r$, поэтому ее предел не может превосходить $r$
Поэтому (1) не выполнится никогда, значит не найдется такой точки расстоянию к которой можно свести последовательность расстояний на шаре. Из этого можно сделать вывод, что для любой "внешней" точки не найдется на шаре ни одной сходящейся последовательности точек.
А значит не в любой ее окрестности будут точки шара, значит "внешние" точки не являются предельными.

-- 12.01.2015, 00:59 --

provincialka
Да, ахах без глупой попытки еще ни разу не вышло

[provincialka]

Bacon в сообщении #960272 писал(а):

на расстоянии $\rho(a,r+K)$
$K$ такое что $\rho(a,K)>\rho(a,r)$

Из второго неравенства следует, что точка $K$ находится вне шара. А что такое $r+K$? Да, а что такое $r$?

Все-таки выпишите явно, каким определением (признаком) замкнутости вы пользуетесь? Разные бывают.

[Bacon]

provincialka
$r+k$ поправил.
$r$ - радиус.
Пользуюсь определением замкнутого множества. Замкнутое множество - множество содержащие все свои предельные точки.