2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 00:35 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Не дает покоя задача:
"Найдите мощность множества всех функций одной переменной, определенных на $\mathbb{R}$". Никак не могу понять какого рода здесь проводить оценку. Пытался свести ее к Теореме о промежуточном множестве, но никак не могу провести оценку сверху. Иным путем не вижу решения, так как множество это ни во что кроме множества кривых на плоскости не шифруется. А переходя к кривым, тем самым мы переходим уже к точкам функции, хотя в задаче элемент множества - функция, что по-моему уводит от решения. Господа, прошу указать в каком направлении мыслить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
А вы в какой аксиоматике работаете? Аксиома выбора есть? Аксиома континуума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 00:58 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka в сообщении #957699 писал(а):
А вы в какой аксиоматике работаете? Аксиома выбора есть? Аксиома континуума?

Аксиома выбора не вводилась, Континуум-гипотеза имеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 01:34 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted: А причем здесь континуум-гипотеза и аксиома выбора?

Если $\Phi$ - множество всех функций $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, то $\Phi\subset2^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$, а также можно легко построить инъективное отображение $2^{\mathbb{R}}\rightarrow\Phi$. Осталось построить биекцию из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$ и воспользоваться известно чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 02:45 
Аватара пользователя


06/01/15
78
patzer2097
Видимо, на счет аксиом спрашивали, чтобы уточнить, что между континуумом и счетными нет промежуточных. (?) :roll:
А что за объект такой $2^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$ ? В первый раз вижу, уж просветите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 02:56 
Аватара пользователя


28/04/14
627
матмех спбгу
Если $X$ - произвольное множество, то $2^X$ - множество, элементами которого являются всевозможные подмножества $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Про аксиомы это я так, не подумавши.
Bacon в сообщении #957771 писал(а):
А что за объект такой $2^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$ ?
Множество подмножеств плоскости. Графики функций тоже туда входят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 03:28 
Аватара пользователя


06/01/15
78
demolishka
provincialka
Спасибо, не признал я булеан, наверно потому что привык обозначать его иначе
-- 07.01.2015, 03:57 --

patzer2097
не пойму никак для чего нужно инъективное отображение $2^{\mathbb{R}}\rightarrow\Phi$. Это делается для оценки множества снизу? Но тогда каким образом инъекция это позволяет сделать? Я тут пошелестел книжками, но ничего по этому поводу не нашел. Может не там искал? Если, допустим, это удастся сделать, то тогда остается доказать равномощность булеанов и все, решена, только вот мощность какая получится? По Кантору, уже явно больше континуума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 04:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6687
Bacon в сообщении #957779 писал(а):
Это делается для оценки множества снизу?
Да
Bacon в сообщении #957779 писал(а):
Но тогда каким образом инъекция это позволяет сделать?
Если множество А равномощно подмножеству множества В, то... как соотносятся мощности А и В?
Bacon в сообщении #957779 писал(а):
Если, допустим, это удастся сделать, то тогда остается доказать равномощность булеанов и все, решена, только вот мощность какая получится?
Википедьте "Кардиналы"

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 15:05 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Dan B-Yallay
Спасибо большое, ситуация прояснилось. Завикипедил "Кардинальные числа". Тогда получается, что мощность булеана $\mathbb{R}$ - это следующая за ним мощность, то есть $\aleph_{2}$ ?
А инъекцию между булеаном $\mathbb{R}$ и заданным множестовм можно построить, например, так: каждому подмножеству $\mathbb{R}$ поставить в соответствие можно функцию из некоторого класса, для которой это подмножество будет множеством значений. Только что же это за класс будет... Что-то кажется я слишком усложняю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
patzer2097
Dan B-Yallay
Простите мое невежество. Но разве выбор того, что есть
Bacon в сообщении #957922 писал(а):
следующая за ним мощность
не зависит от выбранной аксиоматики? (Заранее посыпаю голову пеплом)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 16:23 
Заслуженный участник


14/03/10
867
provincialka Ну для существования "следующей мощности" действительно нужна аксиома выбора, но даже при этом условие
Bacon в сообщении #957922 писал(а):
мощность булеана R - это следующая за ним мощность
может не выполняться. К задаче ТС это, впрочем, не имеет никакого отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань

(Оффтоп)

patzer2097
А, ну ладно. Значит я все-таки не совсем дура. Исходная задача мне показалась достаточно тривиальной, вот я и решила, что там надо в терминах кардинальных чисел решить. Иначе в чем же вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
Bacon в сообщении #957922 писал(а):
Тогда получается, что мощность булеана R - это следующая за ним мощность, то есть алеф-2?
И мощность $\mathbb R$, вообще говоря, не равна $\aleph_1$, и мощность $2^{\mathbb R}$ совсем не обязана равняться $\aleph_2$.

-- Ср янв 07, 2015 17:07:44 --

provincialka в сообщении #957974 писал(а):
Иначе в чем же вопрос?
Ну, видимо, в том, чтобы показать, что если мощность множества действительных чисел — континуум ($\mathfrak c$), то мощность множества всевозможных функций $\mathbb R\to\mathbb R$ равна $2^{\mathfrak c}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск мощности множества функций
Сообщение07.01.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Да. Когда к некоторым вещам привыкаешь, кажется, что они очевидны. :roll: А ведь когда-то все надо было доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group