Поиск мощности множества функций

[Bacon]

Не дает покоя задача:
"Найдите мощность множества всех функций одной переменной, определенных на $\mathbb{R}$". Никак не могу понять какого рода здесь проводить оценку. Пытался свести ее к Теореме о промежуточном множестве, но никак не могу провести оценку сверху. Иным путем не вижу решения, так как множество это ни во что кроме множества кривых на плоскости не шифруется. А переходя к кривым, тем самым мы переходим уже к точкам функции, хотя в задаче элемент множества - функция, что по-моему уводит от решения. Господа, прошу указать в каком направлении мыслить.

[provincialka]

А вы в какой аксиоматике работаете? Аксиома выбора есть? Аксиома континуума?

[Bacon]

provincialka в сообщении #957699 писал(а):

А вы в какой аксиоматике работаете? Аксиома выбора есть? Аксиома континуума?

Аксиома выбора не вводилась, Континуум-гипотеза имеется.

[patzer2097]

А причем здесь континуум-гипотеза и аксиома выбора?

Если $\Phi$ - множество всех функций $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, то $\Phi\subset2^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$, а также можно легко построить инъективное отображение $2^{\mathbb{R}}\rightarrow\Phi$. Осталось построить биекцию из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$ и воспользоваться известно чем.

[Bacon]

patzer2097
Видимо, на счет аксиом спрашивали, чтобы уточнить, что между континуумом и счетными нет промежуточных. (?)
А что за объект такой $2^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$ ? В первый раз вижу, уж просветите пожалуйста.

[demolishka]

Если $X$ - произвольное множество, то $2^X$ - множество, элементами которого являются всевозможные подмножества $X$.

[provincialka]

Про аксиомы это я так, не подумавши.

Bacon в сообщении #957771 писал(а):

А что за объект такой $2^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$ ?

Множество подмножеств плоскости. Графики функций тоже туда входят.

[Bacon]

demolishka
provincialka
Спасибо, не признал я булеан, наверно потому что привык обозначать его иначе
-- 07.01.2015, 03:57 --

patzer2097
не пойму никак для чего нужно инъективное отображение $2^{\mathbb{R}}\rightarrow\Phi$. Это делается для оценки множества снизу? Но тогда каким образом инъекция это позволяет сделать? Я тут пошелестел книжками, но ничего по этому поводу не нашел. Может не там искал? Если, допустим, это удастся сделать, то тогда остается доказать равномощность булеанов и все, решена, только вот мощность какая получится? По Кантору, уже явно больше континуума.

[Dan B-Yallay]

Bacon в сообщении #957779 писал(а):

Это делается для оценки множества снизу?

Да

Bacon в сообщении #957779 писал(а):

Но тогда каким образом инъекция это позволяет сделать?

Если множество А равномощно подмножеству множества В, то... как соотносятся мощности А и В?

Bacon в сообщении #957779 писал(а):

Если, допустим, это удастся сделать, то тогда остается доказать равномощность булеанов и все, решена, только вот мощность какая получится?

Википедьте "Кардиналы"

[Bacon]

Dan B-Yallay
Спасибо большое, ситуация прояснилось. Завикипедил "Кардинальные числа". Тогда получается, что мощность булеана $\mathbb{R}$ - это следующая за ним мощность, то есть $\aleph_{2}$ ?
А инъекцию между булеаном $\mathbb{R}$ и заданным множестовм можно построить, например, так: каждому подмножеству $\mathbb{R}$ поставить в соответствие можно функцию из некоторого класса, для которой это подмножество будет множеством значений. Только что же это за класс будет... Что-то кажется я слишком усложняю.

[provincialka]

patzer2097
Dan B-Yallay
Простите мое невежество. Но разве выбор того, что есть

Bacon в сообщении #957922 писал(а):

следующая за ним мощность

не зависит от выбранной аксиоматики? (Заранее посыпаю голову пеплом)

[patzer2097]

provincialka Ну для существования "следующей мощности" действительно нужна аксиома выбора, но даже при этом условие

Bacon в сообщении #957922 писал(а):

мощность булеана R - это следующая за ним мощность

может не выполняться. К задаче ТС это, впрочем, не имеет никакого отношения.

[provincialka]

(Оффтоп)

patzer2097
А, ну ладно. Значит я все-таки не совсем дура. Исходная задача мне показалась достаточно тривиальной, вот я и решила, что там надо в терминах кардинальных чисел решить. Иначе в чем же вопрос?

[Someone]

Bacon в сообщении #957922 писал(а):

Тогда получается, что мощность булеана R - это следующая за ним мощность, то есть алеф-2?

И мощность $\mathbb R$, вообще говоря, не равна $\aleph_1$, и мощность $2^{\mathbb R}$ совсем не обязана равняться $\aleph_2$.

-- Ср янв 07, 2015 17:07:44 --

provincialka в сообщении #957974 писал(а):

Иначе в чем же вопрос?

Ну, видимо, в том, чтобы показать, что если мощность множества действительных чисел — континуум ($\mathfrak c$), то мощность множества всевозможных функций $\mathbb R\to\mathbb R$ равна $2^{\mathfrak c}$.

[provincialka]

Да. Когда к некоторым вещам привыкаешь, кажется, что они очевидны. А ведь когда-то все надо было доказать.