Разрезы вдоль

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #954372 писал(а):

Новая линия разреза добавит не менее одного треугольника ($\ge4-2=2$).

Почему она добавит?

-- Вт дек 30, 2014 10:12:28 --

Evgenjy в сообщении #954376 писал(а):

TOTAL в сообщении #954362 писал(а):

С другой стороны вообще ничего не найдется, если там нет точек пересечения.

Смотрите оценки, которые дал Edward_Tur и доказательства: Прасолов "Задачи по планиметрии", задача 25.30; "Задачи по стереометрии", задача 19.42.

Зачем туда смотреть? Если нет точек пересечения, то нет и треугольника.

[Evgenjy]

TOTAL в сообщении #954377 писал(а):

Зачем туда смотреть? Если нет точек пересечения, то нет и треугольника.

Там все подробно объяснено. У двух прямых с обратной стороны ничего нет, а у остальных есть.

[Evgenjy]

Схема доказательства.
1 Выберем две линии и точку их пересечения $O$.
2 Рассмотрим такие конфигурации, когда каждая линия занимает любое положение, оставаясь параллельной первоначальному положению. В этом случае положение каждой линии определяется расстоянием $h_i$ от точки $O$.
3 Периметр $p_i$ каждого треугольника выражается линейной формой $p_i=a_ih_k+b_ih_l+c_ih_m$, где $h_k, h_l, h_m$ расстояние до сторон треугольника, а коэффициенты зависят от его углов.
4 Рассмотрим все конфигурации, при которых периметры треугольников, получаемых от разрезания в первоначальной конфигурации, остаются постоянными. Эти конфигурации определяются системой линейных уравнений относительно расстояний от точки $O$, полученных в предыдущем пункте.
5 Если эта система не имеет единственного решения, то существует хотя бы один параметр $t$ и решения, зависящие от этого параметра: $h_i=h_{i0}+g_it$, где $h_{i0}$ расстояние при первоначальном положении. Тогда существует значение параметра $t$, при котором еще одна прямая проходит через точку $O$. При этом может оказаться, что имеется набор таких прямых. Все остальные прямые находятся на некоторых конечных расстояниях от точки $O$.
6 Сделаем малое изменение параметра $t$. В конфигурации из линий, которые проходили через точку $O$ и двух, которые проходят через точку $O$, имеется треугольник, как и во всякой другой, состоящей не менее чем из трех прямых. Вот доказательство:

vmg в сообщении #953849 писал(а):

Прямая, пересекающая треугольник, отрезает от него меньший треугольник. Если какая-то другая прямая пересекает новый треугольник, то от него отрезается меньший и т.д. То есть внутри первоначального треугольника обязательно есть (меньший) треугольник.

Этот треугольник не пересекается остальными линиями. Его периметр зависит от параметра $t$. Это противоречит тому, что мы рассматриваем конфигурации с неизменными периметрами треугольников.
7 Значит система линейных уравнений имеет единственное решение. Для этого количество уравнений должно быть не меньше, чем количество неизвестных, т. е. $n-2$. А количество уравнений равно количеству вырезанных первоначальной конфигурации треугольников.

[grizzly]

Насколько я понял идею решения, последнее предложение этого пункта:

Evgenjy в сообщении #954774 писал(а):

5 Если эта система не имеет единственного решения, то существует хотя бы один параметр $t$ и решения, зависящие от этого параметра: $h_i=h_{i0}+g_it$, где $h_{i0}$ расстояние при первоначальном положении. Тогда существует значение параметра $t$, при котором еще одна прямая проходит через точку $O$.

в общем случае противоречит этому:

Evgenjy в сообщении #954774 писал(а):

4 Рассмотрим все конфигурации, при которых периметры треугольников, получаемых от разрезания в первоначальной конфигурации, остаются постоянными.

Очевидно, что в виду п.4 мы весьма ограничены в выборе параметра $t$. По сути, п.4 означает, что мы рассматриваем только параметры, сохраняющие "топологию" разрезания. Никакие треугольники в силу этого пункта не могут появляться или исчезать.

Скажу проще (на случай, если я недопонял какие-то тонкости идеи): легко нарисовать пример, демонстрирующий 2 разных решения (относительно $h_i$), но с одинаковыми периметрами всех треугольников. В этом примере решения "дискретные" -- ни о каком плавном переходе из одного в другое не может быть и речи.

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #954796 писал(а):

если я недопонял какие-то тонкости идеи

Вы не поняли логику доказательства от противного. Оно как раз и основано на том, что нахождение противоречия служит доказательством.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #965717 писал(а):

Вы не поняли логику доказательства от противного. Оно как раз и основано на том, что нахождение противоречия служит доказательством.

Не буду спорить, я действительно не смог понять логику доказательства. Со мной такое происходит не слишком часто, поэтому остались сомнения (хотя, с другой стороны, и Ваш высокий уровень мне известен). Вы согласитесь мне помочь "шаг за шагом"? Возможно, это будет полезно и другим посетителям.

Дело в том, что я ещё не дошёл до тех пунктов, в которых начинается "от противного". Я читаю последовательно и дохожу до п.4., тогда моё воображение сразу рисует примерно такую ситуацию:

Здесь мы видим слева и справа различное расположение относительно т.О трёх треугольников одинакового периметра (ситуации, как и требовалось, образованы параллельным сдвигом одной прямой). Значит, мы имеем систему из п.3, у которой как минимум 2 решения. Следовательно, мы попадаем в п.5. Насколько я вижу, сдвигая параллельно красную прямую, мы не сможем получить непрерывного спектра других решений (некоторые, возможно, ещё будут).

Всё, дальше я ничего не могу понять. Подскажите мне, пожалуйста, в каком направлении двигаться дальше. Как из ситуации, изображённой на рисунке пройти через п.5 и прийти к противоречию, получаемому в п.6?

Спасибо заранее.

-- 20.01.2015, 21:41 --

Конечно, мы можем сдвигать параллельно не только красную линию, но и другие две, которые не проходят через т.О. Но разве можно, действуя таким образом, перейти от левой картинки к правой, сохраняя необходимы инварианты (количество и периметры треугольников)?

-- 20.01.2015, 21:51 --

Если меня подвела давно разленившаяся в вопросах линейной алгебры интуиция и требуемый переход без прохождения вырожденных мест возможен, то просто дайте знать -- я рассчитаю реальные уравнения, чтобы убедиться. (Раньше было лень из-за неуверенности в понимании самой идеи :)

[Skeptic]

Предположим, все $n$прямые пересекаются в одной точке. Нет ни одного треугольника. Сместим одну прямую из точки пересечения. Появится $n-2$ треугольника. Сместим ещё одну прямую из точки пересечения. Число треугольников не уменьшится. Уменьшение прямых, пересекающихся в одной точке, по крайней мере, не уменьшает число треугольников. Их всегда будет не менее $n-2$.

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #966018 писал(а):

Уменьшение прямых, пересекающихся в одной точке, по крайней мере, не уменьшает число треугольников.

Почему?

[grizzly]

Skeptic
Вы можете для наглядности пользоваться тем же рисунком выше. Если расположить красную вертикальную линию по центру левого рисунка (тогда она станет осью симметрии для левого рисунка), мы увидим на рисунке 4 треугольника. Как видно, смещение такой прямой влево или вправо от точки пересечения уменьшает количество треугольников до 3.

-- 21.01.2015, 14:30 --

Evgenjy
У меня закрадывается подозрение, что в этом месте

Evgenjy в сообщении #954774 писал(а):

Эти конфигурации определяются системой линейных уравнений относительно расстояний от точки $O$, полученных в предыдущем пункте.

Вы хотели сказать: Эти конфигурации могут определяться различными системами линейных уравнений относительно расстояний от точки $O$, полученных в предыдущем пункте. И далее уже рассматривать поведение каждой из такой систем.
Если так, то я п.4 готов принять и дальше смотреть уже с обновлённым пониманием.

[Skeptic]

grizzly.
Треугольников будет $5-2=3$.
В условиях задачи линий - $n=1000$, треугольников - $n-2\ge998 $ .

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #966138 писал(а):

В условиях задачи линий - $n=1000$, треугольников - $n-2\ge998 $ .

Требуется доказать, что будет по крайней мере столько треугольников.

[grizzly]

Skeptic
Я всего-то хотел помочь Вам не тратить зря время в поисках ответа на вопрос TOTAL:

TOTAL в сообщении #966053 писал(а):

Skeptic в сообщении #966018 писал(а):

Уменьшение прямых, пересекающихся в одной точке, по крайней мере, не уменьшает число треугольников.

Почему?

В каких-то случаях уменьшает, в каких-то нет. По сложности этот вопрос равносилен первоначальной задаче.

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #966083 писал(а):

У меня закрадывается подозрение, что в этом месте:
Эти конфигурации определяются системой линейных уравнений относительно расстояний от точки $O$, полученных в предыдущем пункте.
Вы хотели сказать: Эти конфигурации могут определяться различными системами линейных уравнений относительно расстояний от точки $O$, полученных в предыдущем пункте.

Нет, этого я не хотел сказать. Здесь все правильно. Хотел бы исправить в одном месте корявое выражение мысли. Это начало пункта 5. Вместо фразы: "5 Если эта система не имеет единственного решения" надо было написать: "5 Если эта система имеет не единственное решение." Все остальное правильно.

grizzly в сообщении #965796 писал(а):

Насколько я вижу, сдвигая параллельно красную прямую, мы не сможем получить непрерывного спектра других решений

Вы правы, конструкция из этих линий жесткая при наложенных условиях и линий сдвигать нельзя. Однако мы пока не доказали этого. Чтобы это доказать мы используем метод доказательства от противного. Мы делаем ложное предположение, что у полученной системы уравнений самих уравнений меньше, чем неизвестных, но мы пока не знаем, что это предположение ложно. Из этого предположения строго логически выводится другое фактически ложное положение, что решения выражаются через непрерывный параметр. Из этого наконец строго логически выводиться, что существует треугольник, периметр которого зависит от параметра и получается явное противоречие. Тогда идя обратным ходом мы заключаем, что сделанное предположение о том, что число уравнений меьше, чем число неизвестных является ложным.
Мне грустно, что приходиться объяснять азы.

Skeptic в сообщении #966018 писал(а):

Уменьшение прямых, пересекающихся в одной точке, по крайней мере, не уменьшает число треугольников.

Skeptic, Вы оптимист, если думаете, что задача так легко решается.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #966373 писал(а):

Мне грустно, что приходиться объяснять азы.

Не грустите. Не нужно было объяснять азы. Нужно было ответить на мой вопрос. Мне был и остался непонятен логический переход от п.3 к п.4. В моём понимании использованных Вами обозначений две конфигурации, приведенные на моём рисунке:
во-первых, являются допустимыми (получены параллельным сдвигом прямых и имеют треугольники равных периметров);
во-вторых, являются решениями различных систем уравнений из п.3. Это очевидно, если заметить, что на левой картинке удаление красной прямой от т.O увеличивает периметр примыкающего к т.O треугольника, а на правой -- удаление от т.O уменьшает периметр соответствующего треугольника. Следовательно, коэффициент при этой прямой имеет другой знак.

Это означает, что следующее неверно:

Evgenjy в сообщении #954774 писал(а):

Эти конфигурации определяются системой линейных уравнений относительно расстояний от точки $O$, полученных в предыдущем пункте.

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #966415 писал(а):

В моём понимании использованных Вами обозначений две конфигурации, приведенные на моём рисунке:
во-первых, являются допустимыми (получены параллельным сдвигом прямых и имеют треугольники равных периметров);
во-вторых, являются решениями различных систем уравнений из п.3.

Полностью с Вами согласен. Ваш конкретный пример показывает, что нельзя непрерывным перемещением линии перейти от левой конфигурации к правой. Т. е. Вы показали, что в этом конкретном случае невозможно непрерывное перемещение линии. А это значит, что число уравнений должно быть равно числу неизвестных, как для левой конфигурации, так и для правой, хотя сами системы уравнений будут разными. Можно привести множество других таких примеров, которые подтвердят, что непрерывное перемещение линии невозможно. В приведенном мной доказательстве это доказано в общем виде.