Разрезы вдоль

[Evgenjy]

vmg в сообщении #953849 писал(а):

Выбранная прямая и две прямые, проходящие через соседние точки, образуют треугольник. Таких не пересекающихся по внутренним точкам треугольников 998, внутри каждого из которых есть (меньший) треугольник.

Один из больших треугольников может пересекаться с другим таким треугольником, построенным от двух других соседних точек этой прямой. В этом случае маленький треугольник может быть посчитан два раза.

[Aritaborian]

Всё-таки тысяча это очень много, а начинать нужно с малого. Вот с тремя прямыми всё ясно.
А с четырьмя тоже уже всё ясно? А я пятью?

[Evgenjy]

Aritaborian в сообщении #953889 писал(а):

Всё-таки тысяча это очень много, а начинать нужно с малого.

Думаю, что наоборот. Такие задачи часто решаются методом обратного хода. В конечной конфигурации находят прямую, при удалении которой число треугольников строго уменьшается.

[Skeptic]

Если плоскоть разрезана вдоль линий, то она может быть разреза и поперёк линий, и даже под углом к ним. Под каким уголом к линиям плоскость не разрезать всё количетво линий (разрезов) не изменится.
Каждые три линии образуют один треугольник. Общее количество получившихся треугольников для 1000 линий будет $C^3_1_0_0_0=998\frac {999*1000} {1*2*3}$.

[arseniiv]

Skeptic
Уже писали ведь об этом уже здесь: интересны самые мелкие части, пересекающиеся только по границам, а не все подряд возможные треугольники.

(Оффтоп)

К тому же, можно было вместо $C^3_1_0_0_0$ написать более ровное $C^3_{1000}$. И \cdot вы, вроде, тоже знали.

[Skeptic]

В условиях на треугольники не наложено никаких ограничений.

Цитата:

1. Плоскость разрезана вдоль 1000 прямых общего положения. Доказать, что среди получившихся частей будет не менее 998 треугольников.

[grizzly]

Skeptic
Такое бывает. Чтобы выйти из тупика, попробуйте взять реальный листок бумаги, линейку, карандаш и ножницы. Проведите 4 линии и разрежьте листок по этим линиям:

Линия 1. $y=x$;
Линия 2. $y=0$;
Линия 3. $y=-x+2$;
Линия 4. $y=-2x+2$.

Если среди обрезков сумеете найти больше двух треугольников (края листа не учитываем), тогда даже не знаю.

[Evgenjy]

Terraniux в сообщении #953262 писал(а):

1. Плоскость разрезана вдоль 1000 прямых общего положения. Доказать, что среди получившихся частей будет не менее 998 треугольников.

Думаю, что это неверно. Количество треугольников может быть меньше. Откуда эта задача? Вы уверенны в правильности оценки?

[Terraniux]

Evgenjy в сообщении #954281 писал(а):

Terraniux в сообщении #953262 писал(а):

1. Плоскость разрезана вдоль 1000 прямых общего положения. Доказать, что среди получившихся частей будет не менее 998 треугольников.

Думаю, что это неверно. Количество треугольников может быть меньше. Откуда эта задача? Вы уверенны в правильности оценки?

Эта задача №17 из сборника Канель-Белова А.Я. Сборник задач-монстров, поэтому, можно быть почти уверенным в правильности оценки.
А каково Ваше опровержение?

[Edward_Tur]

Берём прямую и рассматриваем ближайшую к прямой точку пересечения других прямых. Это будет вершина треугольничка,
примыкающий к прямой. Ещё один такой треугольничек найдётся с другой стороны этой же прямой (за исключением двух прямых). Поскольку треугольничек учитывается трижды, то получаем оценку $(2n-2)/3$.
Аналогично в пространстве для тетраэдров получается оценка $(2n-3)/4$.

[Evgenjy]

Terraniux в сообщении #954305 писал(а):

Эта задача №17 из сборника Канель-Белова А.Я. Сборник задач-монстров, поэтому, можно быть почти уверенным в правильности оценки.

Могли бы Вы дать более точную ссылку. Я знаю его книгу в соавторстве с Ковальджи "Как решают нестандартные задачи". Там есть близкая задача на странице 32 (Пример 1), но это далеко не то, что нужно. Или есть какая-то другая книга?

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #954323 писал(а):

Могли бы Вы дать более точную ссылку.

Здесь вполне законная ссылка.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #954308 писал(а):

Ещё один такой треугольничек найдётся с другой стороны этой же прямой (за исключением двух прямых).

С другой стороны вообще ничего не найдется, если там нет точек пересечения.

[Skeptic]

Три разреза образуют один треугольник ($\ge3-2=1$). Новая линия разреза добавит не менее одного треугольника ($\ge4-2=2$). Следовательно, при $n$ разрезах количество треугольников ($\ge {n-2}$).

[Evgenjy]

TOTAL в сообщении #954362 писал(а):

С другой стороны вообще ничего не найдется, если там нет точек пересечения.

Смотрите оценки, которые дал Edward_Tur и доказательства: Прасолов "Задачи по планиметрии", задача 25.30; "Задачи по стереометрии", задача 19.42.