Несобственный интеграл с параметром

[SIDODGI]

$I(\alpha,\beta)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\arctg(\alpha x) dx}{x (1+ \beta^2 x^2)}$

Нужно вычислить интеграл. Я дифференцирую под знаком интеграла, получаю следующее

$\frac{\pi}{2} \ln(|\alpha + \beta|)+C$ для $\alpha, \beta > 0$

Для $\alpha, \beta < 0$ получится тоже самое, только с минусом, ну не важно. Меня интересует вопрос, как быть при $\alpha = 0$?

[provincialka]

Э-э.. А константа $C$ откуда? Интеграл-то определенный. Надо это $C$ найти.

[SIDODGI]

Пардон, не дописал, что после дифференцирования, нашел определенный интеграл. От него уже взял неопределенный, т. к. значение вычисленного определенного интеграла, это значение производной. И отсюда как раз и "вылезает" эта константа. С константой тоже не до конца разобрался, что делать.

[provincialka]

Вообще непонятно, чем вас заинтересовал случай $\alpha =0$? Там больше напрягают $\alpha =\pm \beta$
А константу найти надо. Ведь исходный интеграл зависит только от $\alpha$ и $\beta$.

[SIDODGI]

С этим тоже проблема, но для начала хотя бы с чем-нибудь разобраться бы

[provincialka]

Нет, тут надо подробнее. Откуда это $C$ появилось?

[SIDODGI]

[ИСН]

Не исключено, что на этом рисунке есть какие-то буквы.

[provincialka]

На самом деле, когда вы интегрируете по $\alpha$, то константа будет независимой только от $\alpha$.
С другой стороны, чтобы найти эту константу, надо подставить какое-нибудь "простое" значение $\alpha$. Или перейти к нему к пределу.

Но главное, все преобразования надо обосновывать.

[ИСН]

Банальной линейной заменой в первоначальном интеграле получаем, что $I(\alpha,\beta)=I({\alpha\over\beta},1)$. Любой ответ, который этого не соблюдает - подозрителен.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

SIDODGI
Текст наберите буковками в теме, картинки сносите.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.