Решение диофантовых уравнений

[AlexSam]

$\[a\,{x}^{2}+b\,x=c\,{y}^{2}+d\]$

подставим вместо x:
$$\[\frac{s_1\,{z}^{2}+s_3}{s_4\,z+s_5}\]$

подставим вместо y:
$$\[\frac{w_1\,{z}^{2}+w_2\,z+w_3}{w_4\,z+w_5}\]$

$$\[\frac{a\,{s_1}^{2}\,{z}^{4}+b\,s_1\,s_4\,{z}^{3}+\left( b\,s_1\,s_5+2\,a\,s_1\,s_3\right) \,{z}^{2}+b\,s_3\,s_4\,z+b\,s_3\,s_5+a\,{s_3}^{2}}{{s_4}^{2}\,{z}^{2}+2\,s_4\,s_5\,z+{s_5}^{2}}=\]$

$$\[=\frac{c\,{w_1}^{2}\,{z}^{4}+2\,c\,w_1\,w_2\,{z}^{3}+\left( d\,{w_4}^{2}+2\,c\,w_1\,w_3+c\,{w_2}^{2}\right) \,{z}^{2}+\left( 2\,d\,w_4\,w_5+2\,c\,w_2\,w_3\right) \,z+d\,{w_5}^{2}+c\,{w_3}^{2}}{{w_4}^{2}\,{z}^{2}+2\,w_4\,w_5\,z+{w_5}^{2}}\]$

приравняем числители и знаменатели.
Решая систему уравнений получим:

$$\[x=\frac{{d}^{2}\,{t}^{2}+4\,a\,d}{4\,a\,d\,t+4\,a\,b}\]$

$$\[y=\frac{{d}^{2}\,{t}^{2}+2\,b\,d\,t-4\,a\,d}{4\,\sqrt{a\,c}\,d\,t+4\,b\,\sqrt{a\,c}}\]$

Интересует мнение математиков о полноте решений таким методом.

[nnosipov]

AlexSam, формулы приведите в порядок, ничего разобрать нельзя. И точно сформулируйте, в каком смысле Вы хотите решать диофанотово уравнение (в каких числах: целых, рациональных, ещё каких-то).

[AlexSam]

Для начала в рациональных.

Подскажите, как исправить формулы (копировал из Максимы).
Ничего не понимаю. Первая формула нормальная.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы криво оформлены $\TeX$ом

AlexSam
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом нормально.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[Sonic86]

AlexSam в сообщении #950215 писал(а):

Интересует мнение математиков о полноте решений таким методом.

Метод неполон и необоснован и не может быть обоснован в таком виде. Метод состояит из двух необоснованных преобразований и все. В формуле для $y$ имеются корни, встает вопрос: а рационален ли $y$? Где лежат $s,t$ - никто не знает.
Для решения диофантовых уравнений 2-й степени в рациональных числах существует простой и понятный метод секущих (гуглим и читаем) Основная трудность - нахождения хотя бы одного рационального решения. В данном тексте вообще неразличима эта проблема - есть ли решения или нет.

[nnosipov]

Если произведение $ac$ --- точный квадрат, то линейной заменой данное уравнение сводится к уравнению вида $x^2-y^2=D$, с которым всё ясно. Если $ac$ не является точным квадратом, то найденные ТС-м формулы ничего не дают.

[vicvolf]

AlexSam в сообщении #950215 писал(а):

$\[a\,{x}^{2}+b\,x=c\,{y}^{2}+d\]$

Очевидно, делается предположение, что все коэффициенты данного уравнения целые числа не равные 0.
В этом случае после замены переменных $z=x+b/2a$ получим уравнение c целыми коэффициентами:
$ 4a^2z^2-4acy^2=4ad+b^2$.

Бухштаб "Теория чисел" стр. 294 разбираются все решения более общего уравнения:
$Au^2+Buv+Cv^2=D$.

В Вашем случае:
$A=4a^2,B=0,C=-4ac,D=4ad+b^2$.

[AlexSam]

$\[{z}^{2}-{y}^{2}+{x}^{3}-x=0\]$

$$\[x=p+\frac{1}{3\,p}\]$

$$\[y=\frac{108\,p\,{t}^{2}+27\,{p}^{6}+1}{108\,{p}^{2}\,t}\]$

$$\[z=\frac{108\,p\,{t}^{2}-27\,{p}^{6}-1}{108\,{p}^{2}\,t}\]$

Всем вам верю - все это просто. Но речь об другом.
Я понятия не имею про теорию решения таких уравнений.
А вы сможете много решить диофантовых уравнений опираясь на
школьные знания?

[Sonic86]

AlexSam в сообщении #950215 писал(а):

$\[a\,{x}^{2}+b\,x=c\,{y}^{2}+d\]$

AlexSam в сообщении #950561 писал(а):

$\[{z}^{2}-{y}^{2}+{x}^{3}-x=0\]$

Вы уверены в предмете обсуждения?

AlexSam в сообщении #950561 писал(а):

$$\[x=p+\frac{1}{3\,p}\]$

Вы когда вот так пишите, Вы выбрасываете все $x:|x|\leqslant \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это понятно?

AlexSam в сообщении #950561 писал(а):

$\[{z}^{2}-{y}^{2}+{x}^{3}-x=0\]$

$$\[x=p+\frac{1}{3\,p}\]$$

$$\[y=\frac{108\,p\,{t}^{2}+27\,{p}^{6}+1}{108\,{p}^{2}\,t}\]$$

$$\[z=\frac{108\,p\,{t}^{2}-27\,{p}^{6}-1}{108\,{p}^{2}\,t}\]$$

А где, собс-но, метод? Или метод распространяется только на уравнение $z^2-y^2+x^3-x=0$, да еще и не решает его полностью?

AlexSam в сообщении #950561 писал(а):

А вы сможете много решить диофантовых уравнений опираясь на
школьные знания?

А Вы думаете, это кому-то сильно интересно?

(Оффтоп)

ИМХО, тема вида "А не изобрести ли мне велосипед, да с квадратными колесами?"

[Shadow]

Sonic86 в сообщении #950588 писал(а):

А где, собс-но, метод? Или метод распространяется только на уравнение $z^2-y^2+x^3-x=0$, да еще и не решает его полностью?

Метод, конечно, секретный.
AlexSam, можете решить в рационалных числах (школьными методами) $y^2-z^2=c$.

[AlexSam]

$\[B+x\,A+{x}^{3}={y}^{2}\]$

$$\[x=\frac{{A}^{2}}{4\,B}\]$

$$\[y=\frac{8\,{B}^{2}+{A}^{3}}{8\,{B}^{\frac{3}{2}}}\]$

Хотя остались одни константы - результат, мне кажется, достойный.

[Sonic86]

[nnosipov]

AlexSam в сообщении #951716 писал(а):

Хотя остались одни константы - результат, мне кажется, достойный.

Эта формула получается стандартным способом: нужно провести касательную к данной кривой в "рациональной" точке $(0,B^{1/2})$.

[vicvolf]

AlexSam в сообщении #951716 писал(а):

$\[B+x\,A+{x}^{3}={y}^{2}\]$

$$\[x=\frac{{A}^{2}}{4\,B}\]$

$$\[y=\frac{8\,{B}^{2}+{A}^{3}}{8\,{B}^{\frac{3}{2}}}\]$

Хотя остались одни константы - результат, мне кажется, достойный.

Например, при $B=2$ значение $y=5 \sqrt {2}/4$ - иррационально.

[AlexSam]

$\[{x}^{3}+A\,x+B={y}^{2}\]$

В частном случае если представить А и В:

$\[-2\,{\left( c-{b}^{2}\right) }^{3}=B\]$

$-3(c-b^2)^2=A$

тогда:

$\[x={t}^{2}+2\,b\,t+2\,c-{b}^{2}\]$

$\[y={t}^{3}+3\,b\,{t}^{2}+3\,c\,t+3\,b\,c-2\,{b}^{3}\]$