Задачник Бугров, Никольский. Векторный анализ.

[denis_r]

Здравствуйте.

Возникла проблема с задачей по векторному анализу из задачника Бугрова, Никольского. Задача №527. Это самая первая задача в гл. 8 вышеуказанного задачника.

Иходные данные:

$$\int\limits_{S}^{}\frac{ds}{x-y}$$

S - отрезок прямой, проходящей через точки $A(0; -2)$ и $B(4; 0)$

Далее:
- запиываю уравнение прямой, проходящей через точки А и B: $y = s = 0.5x-2$
- записываю дифференциал прямой для вычисления криволинейного интеграла 1го рода: $ds=s'dx = (0.5x-2)'dx = 0.5dx$
Дифференциал прямой: $ds = 0.5dx$

Далее:
подставляю полученные уравнения для y и ds в исходный криволиненый интеграл:

$$\int\limits_{S}^{}\frac{ds}{x-y}=\int\limits_{0}^{4}\frac{0.5dx}{x-y}=\int\limits_{0}^{4}\frac{0.5dx}{x-(0.5x-2)}=\int\limits_{0}^{4}\frac{0.5dx}{x-0.5x+2}=0.5\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{0.5x+2}dx=0.5\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{0.5(x+4)}dx$$

'0.5' сокращается:

$$\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{x+4}$$

Результатом интегрирования полчившегося выражения будет натуральный логарифм: $\ln(x+4)$

Далее в интервале от '0' до '4' получим: $\ln(4+4) - \ln(0+4) = \ln(8) - \ln(4) = \ln(8/4) = \ln(2)$

Т.е. получается ответ: $\ln(2)$
А в задачнике ответ указан: $\sqrt{5}\ln(2)$


Не могу понять, где пропустил корень из 5ки. Подскажите, пожалуйста, в каком напрвлении думать.
Спасибо.

[Lia]

Оформите все формулы, пожалуйста.

[arhimedius]

Ошибка очевидная. Формула такая:
$ds = \sqrt{1+(f'(x))^2}$
В итоге получается:
$ds = \sqrt{1.25} = 0.5\sqrt{5}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

denis_r
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[denis_r]

arhimedius в сообщении #950173 писал(а):

Ошибка очевидная. Формула такая:
$ds = \sqrt{1+(f'(x))^2}$
В итоге получается:
$ds = \sqrt{1.25} = 0.5\sqrt{5}$

arhimedius, Спасибо за ответ.
Можно по-подробнее?

В учебнике (том 3) Бугрова, Николького описана теория для кривролиненых интегралов 1го рода.
В примерах указана функция $F(x, y)$ или $F(x, y, z)$, а так же кривая по которой ведётся интегрирование.

Кривая задаётся параметриески:
$x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$

Далее показано вычисление дифференциала кривой:
$ds=\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}dt$

Потом производится вычисление криволинейного интеграла 1го рода:

$$\int\limits_{S}^{}F(x, y, z)ds=\int\limits_{S}^{}F(x, y, z)\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}dt$$

Я правильно понимаю, что в моём примере необходимо полученное уравнение прямой по которой ведётся интегрирование представить в параметрическом виде?

Уравнение полученной прямой: $s=0.5x-2$
В параметрическом виде:
$x(t)=t$
$y(t)=0.5t-2$
Дифференциал прямой:
$ds=\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt=\sqrt{1 + 0.5}dt=\sqrt{1.25}dt$ и т.д...
Далее произведя вычисление интеграла получается $\sqrt{5}\ln(2)$

Почему нельзя использовать выражение дифференциала кривой интегрирования в том 'неправильном' виде, который я изначально написал?

Спасибо.

[Otta]

А почему Вы решили, что $y=s$?

[arseniiv]

(Более распространённое дополнение, если вдруг пригодится (удалять не хотелось).)

denis_r в сообщении #950387 писал(а):

Почему нельзя использовать выражение дифференциала кривой интегрирования в том 'неправильном' виде, который я изначально написал?

Если вы о том, что выведено из

denis_r в сообщении #950168 писал(а):

$y = s = 0.5x-2$

то ясно, что исходная формула неверна: длина отрезка между точками с координатами $y_1$ и $y_2$ будет не $|y_2-y_1|$. Оттуда $\sqrt5$ и вылезет — чтобы привести параметризацию через $y$ к нормальной.

Можете нарисовать на прямой засечки в точках с целым игреком — увидите, что они делят её на отрезки длины совсем не единичной.

[denis_r]

Otta в сообщении #950390 писал(а):

А почему Вы решили, что $y=s$?

Я, возможно, в обозначениях некорректен. Под $s$ я имею в виду прямую по которой произвожу интегрирование.
При такой формулировке график параметриеской прямой проходит через заданные в задаче точки.

[Otta]

denis_r в сообщении #950400 писал(а):

Под $s$ я имею в виду прямую по которой произвожу интегрирование.

Дело в том, что те, кто формулирует задачи и пишет учебники, под $s$ имеют в виду совсем другое. $ds$ - это дифференциальная форма длины дуги кривой, попросту - длина дуги, которая соответствует малому изменению параметра $dt$. Или $dx$. Или что Вы там возьмете за параметр. Это примитивное объяснение, конечно, не для строгого доказательства. Почитайте еще arseniiv выше, он довольно подробно все пытался рассказать.
А вообще в учебниках это обычно хорошо написано.

[denis_r]

Otta в сообщении #950409 писал(а):

denis_r в сообщении #950400 писал(а):

Под $s$ я имею в виду прямую по которой произвожу интегрирование.

Дело в том, что те, кто формулирует задачи и пишет учебники, под $s$ имеют в виду совсем другое. $ds$ - это дифференциальная форма длины дуги кривой, попросту - длина дуги, которая соответствует малому изменению параметра $dt$. Или $dx$. Или что Вы там возьмете за параметр. Это примитивное объяснение, конечно, не для строгого доказательства. Почитайте еще arseniiv выше, он довольно подробно все пытался рассказать.
А вообще в учебниках это обычно хорошо написано.

arseniiv,
Otta,
Спасибо за ответы и информацию.
Действительно, глупая ошибка. Когда я рассчитывал $dy=y'dx$, я получал величину приращения функции, вместо длины участка прямой, соответствующего приращению аргумента.
Спасибо ещё раз.