2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 12:14 
Уважаемые форумчане!

Помогите мне, пожалуйста, разобраться в следующей задаче.

Задача. Решить уравнение в кольце $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ при $n=221$: $$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}.$$

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:30 
Аватара пользователя
$221=13\times 17$

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:31 
Аватара пользователя
Сведите уравнение к виду:
$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}.$$

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:47 
bot в сообщении #945459 писал(а):
$221=13\times 17$

Как это можно использовать?
Brukvalub в сообщении #945460 писал(а):
Сведите уравнение к виду:
$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}.$$

Вот, что получается:
$$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}$$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{25}+\overline{157}=\overline{0}$$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{25}=-\overline{157}$$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{25}=-\overline{157}+\overline{221}$$ $$(x+\overline{5})^2=\overline{64}$$ $$x+\overline{5}=\pm\overline{8}$$ $$x_1=\overline{3}, x_2=-\overline{13}$$ $$x_1\equiv3\pmod{221}, x_2\equiv-13\pmod{221}$$ Правильно?

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:50 
Аватара пользователя
Так и знал, что попадётесь - это не все решения. Используйте подсказки в порядке их появления.

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:01 
bot в сообщении #945478 писал(а):
Так и знал, что попадётесь - это не все решения. Используйте подсказки в порядке их появления.

Только в обратном порядке если, то получается вот что.
Если $$x_1\equiv3\pmod{221}, x_2\equiv-13\pmod{221},$$ то решениями также будут $$x\equiv3\pmod{13}, x\equiv-13\pmod{13},$$ $$x\equiv3\pmod{17}, x\equiv-13\pmod{17}.$$
Правильно?

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:13 
ZumbiAzul в сообщении #945486 писал(а):
то решениями также будут $$x\equiv3\pmod{13}, x\equiv-13\pmod{13},$$ $$x\equiv3\pmod{17}, x\equiv-13\pmod{17}.$$
Вы точно знаете, какие здесь логические связки?

Кстати, если что, преподы часто требуют решения в виде $x\equiv ? \pmod {221}$.

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:16 
Sonic86 в сообщении #945488 писал(а):
Вы точно знаете, какие здесь логические связки?

Ну вроде как, если сравнение имеет место по разным модулям, то оно имеет место и по модулю их произведения.
Sonic86 в сообщении #945488 писал(а):
Кстати, если что, преподы часто требуют решения в виде $x\equiv ? \pmod {221}$.

Т.е. сразу рассмотреть два квадратных уравнения - по модулю 13 и по модулю 17, решить их, а потом объединить результат под один модуль 221, да?

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:20 
ZumbiAzul в сообщении #945493 писал(а):
Ну вроде как, если сравнение имеет место по разным модулям, то оно имеет место и по модулю их произведения.
Нет. Вот Вы написали сложное высказывание из простых:
ZumbiAzul в сообщении #945486 писал(а):
решениями также будут $$x\equiv3\pmod{13}, x\equiv-13\pmod{13},$$ $$x\equiv3\pmod{17}, x\equiv-13\pmod{17}.$$
Здесь опущены 3 логические связки. Вы точно в процессе решения поняли, каковы они?

ZumbiAzul в сообщении #945493 писал(а):
Т.е. сразу рассмотреть два квадратных уравнения - по модулю 13 и по модулю 17, решить их, а потом объединить результат под один модуль 221, да?
Можно так.

ZumbiAzul в сообщении #945475 писал(а):
$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}$$ $$x+\overline{5}=\pm\overline{8}$$
переход неравносилен

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:42 
Sonic86 в сообщении #945496 писал(а):
Вы точно в процессе решения поняли, каковы они?

Я точно не понял, не могли бы Вы разъяснить, пожалуйста?

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 15:08 
ZumbiAzul в сообщении #945506 писал(а):
Я точно не понял, не могли бы Вы разъяснить, пожалуйста?
Решение уравнения $(x-1)(x-2)=0$ имеет вид "$x=1$ или $x=2$". Одна связка "или"

Решение уравнения $(x-1)(y-2)=0$ имеет вид "$x=1$ и $y=2$". Одна связка "и".

У Вас 3 таких связки. Какие они?
Вы скорее всего просто не следите за ними. Просто я не верю, что Вам полностью понятно, проверил - так и есть. Хотя связки - это мелочь, можно переформулировать без них.

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 15:16 
Sonic86 в сообщении #945514 писал(а):
Решение уравнения $(x-1)(x-2)=0$ имеет вид "$x=1$ или $x=2$". Одна связка "или"

Решение уравнения $(x-1)(y-2)=0$ имеет вид "$x=1$ и $y=2$". Одна связка "и".

У Вас 3 таких связки. Какие они?
Вы скорее всего просто не следите за ними. Просто я не верю, что Вам полностью понятно, проверил - так и есть. Хотя связки - это мелочь, можно переформулировать без них.


Стало быть связки такие:

$x_1\equiv3\pmod{221}$ или $x_2\equiv-13\pmod{221}$

Если 221=13*17, то решениями также будут

$x_1\equiv3\pmod{13}$ и $x_1\equiv3\pmod{17},$

или

$x_2\equiv-13\pmod{13}$ и $x_2\equiv-13\pmod{17}.$

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 15:35 
ZumbiAzul в сообщении #945520 писал(а):

$x_1\equiv3\pmod{13}$ и $x_1\equiv3\pmod{17},$

или

$x_2\equiv-13\pmod{13}$ и $x_2\equiv-13\pmod{17}.$

(Оффтоп)

здесь уже, видимо, проблемы перевода с естественного языка. Я бы записал не так. Но похоже. Ладно. В принципе, я бы счел это ответом.
Но препод может от Вас потребовать выписать решения по модулю $221$. Тут уж как хотите.


ZumbiAzul в сообщении #945520 писал(а):
Стало быть связки такие:

$x_1\equiv3\pmod{221}$ или $x_2\equiv-13\pmod{221}$
А вот это неверно.

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 15:40 
Sonic86 в сообщении #945530 писал(а):
здесь уже, видимо, проблемы перевода с естественного языка. Я бы записал не так. Но похоже. Ладно. В принципе, я бы счел это ответом.
Но препод может от Вас потребовать выписать решения по модулю $221$. Тут уж как хотите.

(Оффтоп)

Буду пробовать тогда с самого начала рассматривать 2 квадратных уравнения, чтобы в конце просто перемножить сравнения.


-- Сб дек 13, 2014 16:32:22 --

Вот по-другому:

Т.к. $221=13\cdot17$, то рассмотрим два кольца $\mathbb{Z}_1=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}.$

1. $\mathbb{Z}_1=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}$$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{182-14\cdot13}=\overline{0}$$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{0}=\overline{0}$$ $$x^2+\overline{10}x=\overline{0}$$ $$x(x+\overline{10})=\overline{0}$$
Отсюда, либо $x=\overline{0}$, либо $x=\overline{3}$ (в кольце $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$)

2. $\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$ $$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}$$ $$x^2+\overline{10-17}x+\overline{182-10\cdot17}=\overline{0}$$ $$x^2-\overline{7}x+\overline{12}=\overline{0}$$ Откуда, либо $x=\overline{3}$, либо $x=\overline{4}$ (в кольце $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$)

Правильно?

В принципе, получилось то же самое. А как написать ответ по модулю 221 (т.е. в кольце $\mathbb{Z}/221\mathbb{Z}$)?

 
 
 
 Re: Решение уравнения в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 16:45 
Наверное, так:

$x\equiv3\pmod{221}$ или $x\equiv-13\pmod{221}$.

Правильно?

 
 
 [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group